Número de soluções de um sistema de equações representado graficamente

RKA - É preciso pensar em jeitos de não ser enganado pelos Arbeglas da vida, e como às vezes não temos pássaros pra ajudar, é uma boa ideia saber como identificar sistemas que são estranhos por algum motivo. Quando o sistema terá um número infinito de soluções, ou nenhuma solução. E só para lembrar o que pode acontecer nesses casos, tem três coisas que podem acontecer. A primeira opção que é a que usamos no começo, é um sistema de duas equações que têm uma única intersecção, e tem apenas uma solução nesse caso, o gráfico vai mostrar uma solução que significa que o sistema é consistente e as equações funcionam independentemente uma da outra. Elas não são a mesma reta e são independentes e consistentes. A segunda opção é que elas sejam consistentes e têm intersecção, mas são basicamente a mesma reta, têm um monte de intersecções. Então, tem uma equação e a outra, se olhar para ela e fizer o gráfico, serão a mesma reta. Nesse caso tem um número infinito de soluções. Há consistência, há soluções, mas as equações são dependentes linearmente, é um sistema dependente. E a última opção, lembrando que estamos falando de duas dimensões, a última opção é que as duas retas não têm intersecção. Uma seria assim e a outra seria, tipo assim. Elas têm a mesma inclinação, mas interceptam o eixo em pontos diferentes. Não tem solução, elas nunca se cruzam. E chamamos de um sistema inconsistente. Aqui são coeficientes angulares diferentes, e a gente sabe que duas retas diferentes com coeficientes angulares diferentes definitivamente se cruzam em exatamente um ponto. Aqui elas têm o mesmo coeficiente angular e cruzam y no mesmo ponto, então têm um número infinito de soluções. Aqui elas têm o mesmo coeficiente angular, mas cruzam y em pontos diferentes, então não têm solução. Então, quando estamos resolvendo os sistemas, só vamos ver coisas estranhas quando as retas têm o mesmo coeficiente angular. O jeito de verificar? O que define o coeficiente angular? E recomendo que você teste com equações diferentes, é quando tem... se você tem x's e y's ou tem a's e b's, ou ainda tem variáveis no mesmo lado da equação, eles têm a mesma proporção um em relação ao outro. Pensando nisso, vamos ver os tipos de solução. Vamos anotar. Foi pedido que a gente determine quantas soluções existem para o sistema de equações. Então temos 10x -2y é igual a 4 e 10x -2y é igual a 16. Baseado no que acabamos de falar sobre x e y no mesmo lado da equação, a proporção é 10 para -2. Proporção igual, então vai acontecer algo estranho, mas têm a mesma combinação de x e y na primeira, e o resultado vai ser 4, no segundo 16. Sei que parece meio bizarro. Outro jeito é que tem o mesmo número de x's e de y's, mas tem um número diferente no lado direito. Então, se simplificar, ou podemos seguir as dicas e ver o que elas dizem, vai ver que elas vão acabar tendo o mesmo coeficiente angular mais cruzam y em pontos diferentes. Então, convertendo as duas à forma reduzida da equação vai ver que numa delas, a azul, y é igual a 5x - 2 e na verde, y é igual a 5x -8. Mesmo coeficiente angular, mesma razão de x's e y's mas têm valores diferentes ali, elas cruzam y em pontos distintos. Não há soluções. Vai ser esta opção. Se fizermos os gráficos, não haverá solução. Vamos checar a próxima questão Vamos ver, tem -5 multiplicado por x e -1 multiplicado por y, tem 4 multiplicado por x e 1 multiplicado por y. parece que a razão, se olhar para os x e y no lado esquerdo, que o número de x e y é diferente, tem 5x para cada y ou podemos dizer -5x para cada -y e aqui 4x para cada y. Tem uma proporção diferente. A gente sabe instantaneamente que estas vão se cruzar em exatamente um ponto. Se colocarmos as duas na forma da equação reduzida da reta, a gente vê coeficientes angulares diferentes, então podemos dizer que tem uma única solução. Vamos chegar à resposta e ver a solução só para verificar. Recomendo que faça isso: se colocar a azul na forma reduzida - 5x mais 10 e a verde na forma reduzida - 4x -8, então os coeficientes angulares são diferentes e vão se cruzar num único ponto com certeza. Só haverá uma solução. Vamos fazer outra. Aqui tem 2x mais y é igual a -3. Aqui é bem claro, tem 2x mais y igual a -3 e são exatamente a mesma equação, a informação é consistente, com certeza tem soluções mas o número de soluções vai ser infinito, é um sistema dependente, então tem um número infinito de soluções. Vamos checar a resposta e fazer mais uma porque essa foi fácil demais. Essas são mais interessantes, porque estão em formas diferentes. 2x mais y é igual a -4, y é igual a -2x - 4. Coloque a primeira equação azul na forma de equação reduzida. Se fizer isso, vai chegar... Hã... Subtrai 2x dos dois lados e chega em y é igual a -2x menos 4, que é o mesmo que esta equação aqui. Mais uma vez, elas são a mesma equação, haverá um número infinito de soluções