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Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

O foco desse artigo é sistematizar os conceitos abordados durante a lição referentes à situações que envolvem grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais.
Existem três tipos de relações de proporcionalidade entre duas grandezas. Elas podem ser classificadas como diretamente, inversamente ou não proporcionais**. No caso das duas primeiras, é possível determinar uma lei de proporcionalidade que é dada por x=k1y, em que x e y são as grandezas envolvidas e k é o coeficiente de proporcionalidade. Neste artigo, será explorado como identificar esses três tipos de relações.
Sejam x, k e y números reais não nulos. Dessa forma, temos que:
  • se x=ky, então x e y são grandezas diretamente proporcionais e k é a constante de proporcionalidade;
  • se x=k1y, então x e y são grandezas inversamente proporcionais e k é a constante de proporcionalidade;
  • no caso em que as grandezas não são proporcionais, não existe k que estabeleça uma relação.
Agora, nos exemplos a seguir, serão abordadas maneiras de identificar se as grandezas proporcionais são diretamente ou inversamente proporcionais.
A tabela mostra o valor dos juros (J) obtidos por um certo investimento a uma taxa de juros constante durante um determinado período de tempo (t).
J (R$)t (meses)
501
1002
1503
Note que uma relação que pode ser estabelecida entre J e t é expressa por J=50t. Observe que essa relação se apresenta na forma das grandezas diretamente proporcionais: x=ky, em que J=x, 50=k, t=y, sendo este um exemplo de grandezas diretamente proporcionais.
Já a relação entre a velocidade v para percorrer uma distância d num período de tempo t pode ser expressa por v=td. Neste caso, a relação existente entre as grandezas v e t é inversamente proporcional, dado que na forma x=k1y, temos v=x, t=k e d=y.
Outro exemplo é o gráfico que mostra a variação do comprimento (C) de uma circunferência em relação ao seu respectivo raio (r).
Gráfico 1: Variação do comprimento (C) de uma circunferência em relação ao seu respectivo raio (r).
Considerando que o eixo das abscissas representa o raio da esfera e o eixo das ordenadas, o seu comprimento, podemos dizer que são grandezas diretamente proporcionais, dado que o comprimento aumenta conforme aumenta seu raio.
De fato, a relação entre comprimento e raio da circunferência é dada por C=2πr. Veja na imagem que, quando r=1 e r=4, temos que a segunda circunferência tem comprimento maior se comparado ao comprimento da primeira.
Gráfico 2: Comparação de comprimento de circunferência (C) com variação do raio (r).
As grandezas inversamente ou diretamente proporcionais são amplamente encontradas em diversas aplicações e, quando apresentadas por meio de relações algébricas, é facilitado o manuseio de suas propriedades.

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