Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

Existem três tipos de relações de proporcionalidade entre duas grandezas. Elas podem ser classificadas como diretamente, inversamente ou não proporcionais**. No caso das duas primeiras, é possível determinar uma lei de proporcionalidade que é dada por $x=\text{k}\frac{1}{y}$x, equals, start text, k, end text, start fraction, 1, divided by, y, end fraction, em que $\text{x}$start text, x, end text e $\text{y}$start text, y, end text são as grandezas envolvidas e $\text{k}$start text, k, end text é o coeficiente de proporcionalidade. Neste artigo, será explorado como identificar esses três tipos de relações.

Sejam $\text{x}$start text, x, end text, $\text{k}$start text, k, end text e $\text{y}$start text, y, end text números reais não nulos. Dessa forma, temos que:

Agora, nos exemplos a seguir, serão abordadas maneiras de identificar se as grandezas proporcionais são diretamente ou inversamente proporcionais.

A tabela mostra o valor dos juros ($\text{J}$start text, J, end text) obtidos por um certo investimento a uma taxa de juros constante durante um determinado período de tempo ($\text{t}$start text, t, end text).

Note que uma relação que pode ser estabelecida entre $\text{J}$start text, J, end text e $\text{t}$start text, t, end text é expressa por $\text{J}=50 \text{t}$start text, J, end text, equals, 50, start text, t, end text. Observe que essa relação se apresenta na forma das grandezas diretamente proporcionais: $\text{x}=\text{k}\text{y}$start text, x, end text, equals, start text, k, end text, start text, y, end text, em que $\text{J}=\text{x}$start text, J, end text, equals, start text, x, end text, $50=\text{k}$50, equals, start text, k, end text, $\text{t} = \text{y}$start text, t, end text, equals, start text, y, end text, sendo este um exemplo de grandezas diretamente proporcionais.

Já a relação entre a velocidade $\text{v}$start text, v, end text para percorrer uma distância $\text{d}$start text, d, end text num período de tempo $\text{t}$start text, t, end text pode ser expressa por $\text{v}=\frac{\text{t}}{\text{d}}$start text, v, end text, equals, start fraction, start text, t, end text, divided by, start text, d, end text, end fraction. Neste caso, a relação existente entre as grandezas $\text{v}$start text, v, end text e $\text{t}$start text, t, end text é inversamente proporcional, dado que na forma $\text{x}=\text{k}\frac{1}{\text{y}}$start text, x, end text, equals, start text, k, end text, start fraction, 1, divided by, start text, y, end text, end fraction, temos $\text{v}=\text{x}$start text, v, end text, equals, start text, x, end text, $\text{t}=\text{k}$start text, t, end text, equals, start text, k, end text e $\text{d} = \text{y}$start text, d, end text, equals, start text, y, end text.

Outro exemplo é o gráfico que mostra a variação do comprimento ($\text{C}$start text, C, end text) de uma circunferência em relação ao seu respectivo raio ($\text{r}$start text, r, end text).

Considerando que o eixo das abscissas representa o raio da esfera e o eixo das ordenadas, o seu comprimento, podemos dizer que são grandezas diretamente proporcionais, dado que o comprimento aumenta conforme aumenta seu raio.

De fato, a relação entre comprimento e raio da circunferência é dada por $\text{C}=2\pi\text{r}$start text, C, end text, equals, 2, pi, start text, r, end text. Veja na imagem que, quando $\text{r}=1$start text, r, end text, equals, 1 e $\text{r}=4$start text, r, end text, equals, 4, temos que a segunda circunferência tem comprimento maior se comparado ao comprimento da primeira.

As grandezas inversamente ou diretamente proporcionais são amplamente encontradas em diversas aplicações e, quando apresentadas por meio de relações algébricas, é facilitado o manuseio de suas propriedades.