Tipos de variações proporcionais

Neste artigo, será trabalhada a ideia de grandezas diretamente proporcionais, grandezas inversamente proporcionais e grandezas não proporcionais. Será apresentada a definição de cada um desses conceitos seguidos de alguns exemplos com aplicações do mundo real.

Grandezas são propriedades que podem ser medidas em um fenômeno, corpo ou substância. Elas fazem parte do dia a dia e podem ser entendidas desde a volumetria de água de um copo até o comprimento de um avião.

Geralmente, é possível criar relações de uma ou mais grandezas. Pense no seguinte exemplo: no Mundial de Atletismo de $100$100 metros rasos de Berlim em 2009, o jamaicano Usain Bolt completou o trajeto em $9\text{s}58$9, start text, s, end text, 58. Três anos depois, no mundial de Londres, ele completou o mesmo circuito em $9\text{s}63$9, start text, s, end text, 63. Aqui, pode-se perceber a relação entre duas grandezas muito conhecidas: o tempo e a distância. Quanto menor o tempo nessa dada distância, melhor o resultado alcançado pelo atleta olímpico. Esse é um tipo de relação – chamada de inversamente proporcional – e faz parte dos tipos de proporcionalidades entre as grandezas mais usuais. Analisemos uma a uma detalhadamente.

Duas grandezas são chamadas diretamente proporcionais quando o aumento na medida de uma delas causa aumento na medida da outra em proporções equivalentes ou quando a redução na medida de uma das grandezas causa redução na medida da outra em proporções iguais.

Vamos tomar como exemplo a dilatação de uma barra metálica. Existem três variáveis que influenciam nesse fenômeno: o coeficiente de dilatação do material da barra ($\alpha$alpha), a variação de temperatura ($\Delta\text{t}$delta, start text, t, end text) e o comprimento inicial da barra ($\text{L}_\text{i}$start text, L, end text, start subscript, start text, i, end text, end subscript).

A equação de dilatação é expressa pela fórmula: $\Delta \text{L} = \text{L}_\text{i}\alpha\Delta\text{t}$delta, start text, L, end text, equals, start text, L, end text, start subscript, start text, i, end text, end subscript, alpha, delta, start text, t, end text, em que $\Delta\text{L}$delta, start text, L, end text é a variação de comprimento quando a barra é submetida à variação de temperatura $\Delta\text{t}$delta, start text, t, end text.

Para ilustrar a relação, vamos analisar o que ocorre com a dilatação de uma barra de ferro em diferentes temperaturas, sabendo que, nesse caso, $\alpha=0{,}0000114 °C^{-1}$alpha, equals, 0, comma, 0000114, °, C, start superscript, minus, 1, end superscript e supondo o comprimento inicial igual a $3\text{ cm}$3, start text, space, c, m, end text. Os valores correspondentes se encontram na tabela a seguir.

Como se pode observar, quanto maior a temperatura, maior será também o valor de dilatação que o objeto metálico sofrerá. Desse modo, podemos dizer que a dilatação e a variação de temperatura são grandezas diretamente proporcionais.

Diz-se que duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento na medida de uma das grandezas causa redução na medida da outra, e vice-versa.

O exemplo do atleta Usain Bolt, apresentado no início desse tópico, representa um caso em que se tem duas grandezas inversamente proporcionais: o tempo versus a performance. Ou seja, quanto menor o tempo, melhor será o desempenho do atleta na volta olímpica.

No mundo físico, temos também alguns exemplos de leis que obedecem o aspecto de proporcionalidade inversa entre duas variáveis. No caso de uma distância fixa (como os $100$100 metros rasos), a variação de velocidade com relação ao tempo se dá de tal maneira que quanto menor for a velocidade durante o trajeto, maior será o tempo. Analogamente, quanto maior for a primeira variável, menor será a segunda; logo, são grandezas inversamente proporcionais.

Em termos algébricos, chamamos a velocidade de $\text{v}$start text, v, end text e a variação de tempo de $\Delta\text{t}$delta, start text, t, end text. Dessa forma, a relação de proporcionalidade entre as grandezas é dada pela equação: $\text{v}=100 \Delta\text{t}$start text, v, end text, equals, 100, delta, start text, t, end text. Nesse caso, o $100$100 é chamado de coeficiente de proporcionalidade.

De modo geral, duas grandezas – inversamente ou diretamente proporcionais – tem sempre uma constante de proporcionalidade. Em termos algébricos, considerando $\text{x}$start text, x, end text e $\text{y}$start text, y, end text essas duas grandezas e $\text{k}$start text, k, end text o coeficiente, tem-se $\text{x}=\text{k}\frac{1}{y}$start text, x, end text, equals, start text, k, end text, start fraction, 1, divided by, y, end fraction.

Nem todos os tipos de grandezas apresentam uma dependência de proporcionalidade entre si. Pense em duas grandezas comuns no dia a dia: a altura e o peso. Note que uma grandeza não depende da outra, pois crescer alguns centímetros não implica necessariamente aumento (ou redução) de peso de forma proporcional; ou, quando um adulto para de crescer, nada impede que seu peso altere ao longo do tempo. Nesse caso, não conseguimos estabelecer uma constante de proporcionalidade $\text{k}$start text, k, end text entre essas grandezas.

Como vimos, existem três tipos de relações de proporcionalidade entre duas grandezas. Elas podem ser classificadas como: diretamente, inversamente ou não proporcionais. No caso das duas primeiras, é possível determinar uma lei de proporcionalidade, que é dada por $\text{x}=\text{k}\frac{1}{y}$start text, x, end text, equals, start text, k, end text, start fraction, 1, divided by, y, end fraction, em que $\text{x}$start text, x, end text e $\text{y}$start text, y, end text são as grandezas envolvidas e $\text{k}$start text, k, end text sua constante de proporcionalidade.