Elaborando problemas envolvendo funções exponenciais

Neste artigo, vamos exemplificar como uma situação problema pode ser modelada por meio de uma função exponencial.

Podemos pensar nas seguintes situações-problema:

$\bullet$bullet o decaimento da radiação emitida por um material radioativo (Ciências Naturais);

$\bullet$bullet a concentração de poluentes numa determinada localidade (Ciências Naturais);

$\bullet$bullet o crescimento populacional de uma certa região (Ciências Humanas);

$\bullet$bullet o montante obtido numa aplicação envolvendo juros compostos (Economia).

Vamos começar pensando em matemática financeira.

Tomemos como exemplo uma aplicação financeira de um capital de $\text{R}\$2\space400{,}00$start text, R, end text, dollar sign, 2, space, 400, comma, 00 ao qual serão incididos uma taxa de juros (compostos) de $2\%$2, percent ao mês durante $n$n meses.

Representando essa situação por meio de uma tabela, temos:

Pode-se, também, indicar na tabela os valores que representam a relação entre o tempo que a aplicação ocorreu e seus respectivos montantes obtidos.

A figura a seguir representa alguns pontos dessa relação.

Analisando os resultados obtidos, também é possível determinar a lei de formação da função associada a essa situação como sendo:

Caso $n$n seja um valor real, é possível traçar o gráfico que representa tal função como sendo:

Como os valores obtidos como $f(n)$f, left parenthesis, n, right parenthesis são bem maiores que os valores de $n$n, o gráfico fica mais parecido com uma reta do que com uma função exponencial, mas sabemos que se trata de uma função exponencial por se tratar de "juros sobre juros", ou juros compostos. Se fossem "juros simples", teríamos uma reta de fato, mas estaríamos falando de "juros sobre um valor inicial".

Vejamos outro exemplo com valores de $n$n e $f(n)$f, left parenthesis, n, right parenthesis mais próximos para que seja notada essa diferença.

Suponha que exista uma cidadezinha no interior de uma região onde moram apenas $50$50 pessoas. A taxa de crescimento dessa cidadezinha é de apenas $10\%$10, percent ao ano. Vamos observar como ficará essa população nos próximos $5$5 anos:

Alguns valores ficaram aproximados por se tratar de número de pessoas.

Vamos colocar esses pontos em um gráfico:

Nossa função pode ser estabelecida como sendo: $f(x)= 50\times1{,}1^x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 50, times, 1, comma, 1, start superscript, x, end superscript.

Se pudéssemos pensar inclusive em "anos negativos", nossa função ficaria ainda mais parecida com uma função exponencial. Veja:

Pensar em alguns valores e colocar no gráfico pode nos dar uma ideia de que tipo é a função, mas, se ao fazer o cálculo para obter os próximos números percebermos que estamos sempre multiplicando o anterior por um valor fixo, estaremos trabalhando com uma função exponencial, e a essa sequência de valores chamamos de progressão geométrica. Esse valor fixo é a razão $(q)$left parenthesis, q, right parenthesis de uma PG.