Resolução de equações exponenciais usando as propriedades dos expoentes

RKA4JL - Vamos colocar a seguinte equação exponencial: 26 elevado a (9x mais 5) igual a 1. Para resolver esta equação nós poderíamos usar logaritmo. Se está familiarizado com ele, você poderia dizer que é logaritmo na base 26, que é a mais adequada, de 26 elevado a (9x mais 5) igual a logaritmo na base 26 de 1. No logaritmo eu quero saber a quanto elevo 26 para chegar a 1. Ora, eu vou elevar a zero. Do lado esquerdo nós temos logaritmo de 26 elevado a (9x mais 5) na base 26 e queremos saber 26 elevado a quanto fica 26 elevado a (9x mais 5). Ora, é o próprio 9x mais 5. Resolvemos nossa equação. Mas vamos resolver de outra forma a equação exponencial sem a necessidade de uso de logaritmo. O que nós devemos fazer é igualar as bases, pois como a função exponencial é monotonamente crescente ou decrescente, significa que se eu colocar as bases iguais, os expoentes devem ser iguais. Portanto, no lugar de 26 elevado a (9x mais 5), eu posso igualar não a 1, mas sim a 26 elevado a zero, porque todo número elevado a zero é igual a 1. Há uma discussão muito grande entre quanto é zero elevado a zero e nós vamos discutir isso em outro vídeo. Portanto, como temos a base 26 de um lado e a base 26 do outro, podemos igualar (9x mais 5) igual a zero. Nós temos 9x igual a -5 e x igual a -5 sobre 9. Podemos substituir na nossa equação inicial e verificar se funciona. No lugar de x vamos colocar -5/9. Então temos 9 vezes -5/9, mais 5. 9 simplifica com 9 e temos -5 mais 5 igual a zero. Isso fica 26 elevado a zero, que é igual a 1. Vamos para uma segunda questão. Temos 2 elevado a (3x mais 5) igual a 64 elevado a (x menos 7). Nós vemos logo que a base não é igual, mas verificamos que 64 é uma potência de 2. Eu posso dizer que 64 é igual a 8 vezes 8, 8 eu sei que é 2³ vezes 2³, que é 2⁶, ou seja, 64 posso escrever como a potência de 2, que é 2⁶. Então substituindo na equação nós temos 2 elevado a (3x mais 5) é igual a 2⁶ elevado a (x menos 7). Quando nós temos uma potência elevada a um determinado expoente, “a” elevado a “b” elevado a “c", sabemos que é “a" elevado a (b vezes c). Então podemos repetir nossa equação escrevendo 2 elevado a (3x mais 5) igual a 2... Agora vamos abrir nossos parênteses. 2 elevado a (6x menos... (7 vezes 6), que é igual a 42). Agora, sim, as duas bases são iguais e eu posso igualar os expoentes. Então tenho 3x mais 5 igual a 6x menos 42. E agora, o que nós podemos fazer? Podemos subtrair 3x de ambos os lados e subtrair também 5 de ambos os lados. Vamos ter zero... 3x cancela com 3x, 5 cancela com -5. Nós temos zero igual a 3x menos 47, ou seja, 3x menos 47 igual a zero, e nós temos que 3x é igual a 47 e x é igual a 47/3. E terminamos.