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Gráfico da função exponencial

O foco desse artigo é sistematizar a exploração realizada na lição envolvendo a construção de gráficos de funções exponenciais.
O foco deste artigo é sistematizar a exploração realizada na lição envolvendo a construção de gráficos de funções exponenciais.
Exemplo 1
Vamos começar pensando na seguinte situação: um indivíduo está explorando as teclas de uma calculadora da seguinte maneira: inicialmente, ele digita um valor, aperta o sinal de multiplicação e aperta repetidamente o sinal de igual.
Qual seria o aspecto do gráfico que associa o número de vezes que o sinal de igual foi apertado e o valor apresentado no visor quando iniciar a exploração pelo número 2?
Primeiro, vamos construir uma tabela que relaciona os valores solicitados para a obtenção de alguns pontos do gráfico.
Iniciado pelo n° 2
Nº de vezes que o = foi apertadoValor exibido no visor
12=2¹
24=2²
38=2³
416=2
Representando tais valores no plano cartesiano, temos as sequências de pontos que podem ser observadas na figura a seguir.
Imagem 1: Pontos obtidos ao apertar o número 2 na calculadora, o sinal de multiplicação e o sinal de igual.
Como seria o aspecto do gráfico caso o universo numérico fosse, por exemplo, o conjunto dos números inteiros?
Vamos expandir essa tabela inicial para responder a essa pergunta.
Observe que, a cada clique no sinal de igual, a resposta obtida é dobrada (pois apertamos inicialmente o número 2); então, podemos pensar dessa forma para obter "valores de cliques negativos".
Iniciado pelo n° 2
Nº de vezes que o = foi apertadoValor exibido no visor
20,25=2²
10,5=2¹
01=2
12=2¹
24=2²
38=2³
416=2
Localizando os novos pontos obtidos pela ampliação no plano cartesiano, temos:
Imagem 2: Pontos obtidos ao apertar o número 2 na calculadora, o sinal de multiplicação e o sinal de igual.
E se pensássemos não mais nos números inteiros, e sim nos números reais, como ficaria esse gráfico?
Nesse caso, para representar os demais pontos do plano cartesiano, será necessário unir os pontos já obtidos anteriormente e, assim, obter o arco da hipérbole associado à função.
Imagem 3: Gráfico da função f(x)=2x.
Observando os valores obtidos, é possível generalizar a situação modelando a função f(x)=ax, em que a é o valor inicial digitado na calculadora e x é o número de vezes que o usuário apertou o sinal de igual.
Exemplo 2
Vamos fazer da mesma forma, mas com um novo valor.
Agora, o indivíduo digita inicialmente o valor 0,5 na calculadora, aperta o sinal de multiplicação e aperta repetidamente o sinal de igual.
Qual seria o aspecto do gráfico que associa o número de vezes que o sinal de igual foi apertado e o valor apresentado no visor quando iniciar a exploração pelo número 0,5?
Inicialmente, vamos construir uma tabela que relaciona os valores solicitados para a obtenção de alguns pontos do gráfico.
Iniciado pelo n° 0,5
Nº de vezes que o = foi apertadoValor exibido no visor
10,5=0,5¹
20,25=0,5²
30,125=0,5³
40,0625=0,5
Representando tais valores no plano cartesiano, temos as sequências de pontos que podem ser observadas na figura a seguir.
Imagem 4: Pontos obtidos ao apertar o número 0,5 na calculadora, o sinal de multiplicação e o sinal de igual.
Como seria o aspecto do gráfico caso o universo numérico fosse, por exemplo, o conjunto dos números inteiros?
Vamos expandir essa tabela inicial para responder a essa pergunta.
Observe que, a cada clique no sinal de igual, a resposta obtida é a metade do valor anterior (pois apertamos inicialmente o número 0,5); então, podemos pensar dessa forma para obter "valores de cliques negativos".
Iniciado pelo n° 0,5
Nº de vezes que o = foi apertadoValor exibido no visor
24=0,5²
12=0,5¹
01=0,5
10,5=0,5¹
20,25=0,5²
30,125=0,5³
40,0625=0,5
Localizando os novos pontos obtidos pela ampliação no plano cartesiano, temos:
Imagem 5: Pontos obtidos ao apertar o número 0,5 na calculadora, o sinal de multiplicação e o sinal de igual.
E se pensássemos agora não mais nos números inteiros, e sim nos números reais, como ficaria esse gráfico?
Nesse caso, para representar os demais pontos do plano cartesiano, será necessário unir os pontos já obtidos anteriormente e, assim, obter o arco da hipérbole associado à função.
Imagem 6: Gráfico da função f(x)=0,5x.
Esse gráfico de uma função exponencial recebe o nome de arco de hipérbole e apresenta os seguintes aspectos:
sempre está acima do eixo das abscissas, pois o valor de a é sempre positivo (a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois, para alguns expoentes, a função não estaria definida);
sempre apresenta o conjunto imagem sendo os números reais positivos;
será uma função crescente no caso de a>0;
será uma função decrescente no caso de 0<a<1.
Funções exponenciais são muito utilizadas em questões de Matemática Financeira, pois o crescimento dos juros é sempre juros sobre juros. São usadas também em Ciências da Natureza para o estudo de crescimento de bactérias e crescimento populacional.

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