Gráfico da função exponencial

O foco deste artigo é sistematizar a exploração realizada na lição envolvendo a construção de gráficos de funções exponenciais.

Vamos começar pensando na seguinte situação: um indivíduo está explorando as teclas de uma calculadora da seguinte maneira: inicialmente, ele digita um valor, aperta o sinal de multiplicação e aperta repetidamente o sinal de igual.

Primeiro, vamos construir uma tabela que relaciona os valores solicitados para a obtenção de alguns pontos do gráfico.

Representando tais valores no plano cartesiano, temos as sequências de pontos que podem ser observadas na figura a seguir.

Como seria o aspecto do gráfico caso o universo numérico fosse, por exemplo, o conjunto dos números inteiros?

Vamos expandir essa tabela inicial para responder a essa pergunta.

Observe que, a cada clique no sinal de igual, a resposta obtida é dobrada (pois apertamos inicialmente o número $2$2); então, podemos pensar dessa forma para obter "valores de cliques negativos".

Localizando os novos pontos obtidos pela ampliação no plano cartesiano, temos:

Nesse caso, para representar os demais pontos do plano cartesiano, será necessário unir os pontos já obtidos anteriormente e, assim, obter o arco da hipérbole associado à função.

Observando os valores obtidos, é possível generalizar a situação modelando a função $f (x) = a^x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, start superscript, x, end superscript, em que $a$a é o valor inicial digitado na calculadora e $x$x é o número de vezes que o usuário apertou o sinal de igual.

Vamos fazer da mesma forma, mas com um novo valor.

Agora, o indivíduo digita inicialmente o valor $0{,}5$0, comma, 5 na calculadora, aperta o sinal de multiplicação e aperta repetidamente o sinal de igual.

Inicialmente, vamos construir uma tabela que relaciona os valores solicitados para a obtenção de alguns pontos do gráfico.

Representando tais valores no plano cartesiano, temos as sequências de pontos que podem ser observadas na figura a seguir.

Como seria o aspecto do gráfico caso o universo numérico fosse, por exemplo, o conjunto dos números inteiros?

Vamos expandir essa tabela inicial para responder a essa pergunta.

Observe que, a cada clique no sinal de igual, a resposta obtida é a metade do valor anterior (pois apertamos inicialmente o número $0{,}5$0, comma, 5); então, podemos pensar dessa forma para obter "valores de cliques negativos".

Localizando os novos pontos obtidos pela ampliação no plano cartesiano, temos:

Nesse caso, para representar os demais pontos do plano cartesiano, será necessário unir os pontos já obtidos anteriormente e, assim, obter o arco da hipérbole associado à função.

Esse gráfico de uma função exponencial recebe o nome de arco de hipérbole e apresenta os seguintes aspectos:

$\bullet$bullet sempre está acima do eixo das abscissas, pois o valor de $a$a é sempre positivo (a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois, para alguns expoentes, a função não estaria definida);

$\bullet$bullet sempre apresenta o conjunto imagem sendo os números reais positivos;

$\bullet$bullet será uma função crescente no caso de $a > 0$a, is greater than, 0;

$\bullet$bullet será uma função decrescente no caso de $0 < a < 1$0, is less than, a, is less than, 1.

Funções exponenciais são muito utilizadas em questões de Matemática Financeira, pois o crescimento dos juros é sempre juros sobre juros. São usadas também em Ciências da Natureza para o estudo de crescimento de bactérias e crescimento populacional.