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Matemática EM: Álgebra 2
Curso: Matemática EM: Álgebra 2 > Unidade 3
Lição 3: Gráfico da função exponencialGráfico da função exponencial
O foco desse artigo é sistematizar a exploração realizada na lição envolvendo a construção de gráficos de funções exponenciais.
O foco deste artigo é sistematizar a exploração realizada na lição envolvendo a construção de gráficos de funções exponenciais.
Exemplo 1
Vamos começar pensando na seguinte situação: um indivíduo está explorando as teclas de uma calculadora da seguinte maneira: inicialmente, ele digita um valor, aperta o sinal de multiplicação e aperta repetidamente o sinal de igual.
Qual seria o aspecto do gráfico que associa o número de vezes que o sinal de igual foi apertado e o valor apresentado no visor quando iniciar a exploração pelo número 2?
Primeiro, vamos construir uma tabela que relaciona os valores solicitados para a obtenção de alguns pontos do gráfico.
Nº de vezes que o = foi apertado | Valor exibido no visor | |
---|---|---|
1 | 2, equals, 2, ¹ | |
2 | 4, equals, 2, ² | |
3 | 8, equals, 2, ³ | |
4 | 16, equals, 2, ⁴ |
Representando tais valores no plano cartesiano, temos as sequências de pontos que podem ser observadas na figura a seguir.
Como seria o aspecto do gráfico caso o universo numérico fosse, por exemplo, o conjunto dos números inteiros?
Vamos expandir essa tabela inicial para responder a essa pergunta.
Observe que, a cada clique no sinal de igual, a resposta obtida é dobrada (pois apertamos inicialmente o número 2); então, podemos pensar dessa forma para obter "valores de cliques negativos".
Nº de vezes que o = foi apertado | Valor exibido no visor | |
---|---|---|
minus, 2 | 0, comma, 25, equals, 2, ⁻, ² | |
minus, 1 | 0, comma, 5, equals, 2, ⁻, ¹ | |
0 | 1, equals, 2, ⁰ | |
1 | 2, equals, 2, ¹ | |
2 | 4, equals, 2, ² | |
3 | 8, equals, 2, ³ | |
4 | 16, equals, 2, ⁴ |
Localizando os novos pontos obtidos pela ampliação no plano cartesiano, temos:
E se pensássemos não mais nos números inteiros, e sim nos números reais, como ficaria esse gráfico?
Nesse caso, para representar os demais pontos do plano cartesiano, será necessário unir os pontos já obtidos anteriormente e, assim, obter o arco da hipérbole associado à função.
Observando os valores obtidos, é possível generalizar a situação modelando a função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, start superscript, x, end superscript, em que a é o valor inicial digitado na calculadora e x é o número de vezes que o usuário apertou o sinal de igual.
Exemplo 2
Vamos fazer da mesma forma, mas com um novo valor.
Agora, o indivíduo digita inicialmente o valor 0, comma, 5 na calculadora, aperta o sinal de multiplicação e aperta repetidamente o sinal de igual.
Qual seria o aspecto do gráfico que associa o número de vezes que o sinal de igual foi apertado e o valor apresentado no visor quando iniciar a exploração pelo número 0, comma, 5?
Inicialmente, vamos construir uma tabela que relaciona os valores solicitados para a obtenção de alguns pontos do gráfico.
Nº de vezes que o = foi apertado | Valor exibido no visor | |
---|---|---|
1 | 0, comma, 5, equals, 0, comma, 5, ¹ | |
2 | 0, comma, 25, equals, 0, comma, 5, ² | |
3 | 0, comma, 125, equals, 0, comma, 5, ³ | |
4 | 0, comma, 0625, equals, 0, comma, 5, ⁴ |
Representando tais valores no plano cartesiano, temos as sequências de pontos que podem ser observadas na figura a seguir.
Como seria o aspecto do gráfico caso o universo numérico fosse, por exemplo, o conjunto dos números inteiros?
Vamos expandir essa tabela inicial para responder a essa pergunta.
Observe que, a cada clique no sinal de igual, a resposta obtida é a metade do valor anterior (pois apertamos inicialmente o número 0, comma, 5); então, podemos pensar dessa forma para obter "valores de cliques negativos".
Nº de vezes que o = foi apertado | Valor exibido no visor | |
---|---|---|
minus, 2 | 4, equals, 0, comma, 5, ⁻, ² | |
minus, 1 | 2, equals, 0, comma, 5, ⁻, ¹ | |
0 | 1, equals, 0, comma, 5, ⁰ | |
1 | 0, comma, 5, equals, 0, comma, 5, ¹ | |
2 | 0, comma, 25, equals, 0, comma, 5, ² | |
3 | 0, comma, 125, equals, 0, comma, 5, ³ | |
4 | 0, comma, 0625, equals, 0, comma, 5, ⁴ |
Localizando os novos pontos obtidos pela ampliação no plano cartesiano, temos:
E se pensássemos agora não mais nos números inteiros, e sim nos números reais, como ficaria esse gráfico?
Nesse caso, para representar os demais pontos do plano cartesiano, será necessário unir os pontos já obtidos anteriormente e, assim, obter o arco da hipérbole associado à função.
Esse gráfico de uma função exponencial recebe o nome de arco de hipérbole e apresenta os seguintes aspectos:
bullet sempre está acima do eixo das abscissas, pois o valor de a é sempre positivo
(a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois, para alguns expoentes, a função não estaria definida);
bullet sempre apresenta o conjunto imagem sendo os números reais positivos;
bullet será uma função crescente no caso de a, is greater than, 0;
bullet será uma função decrescente no caso de 0, is less than, a, is less than, 1.
Funções exponenciais são muito utilizadas em questões de Matemática Financeira, pois o crescimento dos juros é sempre juros sobre juros. São usadas também em Ciências da Natureza para o estudo de crescimento de bactérias e crescimento populacional.
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