Comparação do crescimento de modelos exponenciais e quadráticos

A companhia Carros Luxuosos envia alguns dos seus novos carros para o Japão e Vietnã. O número de carros que serão enviados para o Japão nos próximos "t" meses é modelado pela função "j(t) = 2ᵗ". O número de carros que serão enviados para o Vietnã pelos próximos "t" meses é modelado pela função "v(t)", que é igual a 2t²". Qual país terá recebido mais carros da companhia Carros Luxuosos após 5 meses, ou irá receber após 5 meses? Vamos ver quantos o Japão receberá após 5 meses. "t" está em meses, então "j(5)" será "2⁵", que é 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2. E vejamos: 2 vezes 2... 4... 8... 16... 32. Logo, o Japão receberá 32 carros. E o Vietnã? Bom, então, "v(5)" é igual a 2 vezes "5²", que será 2 vezes 25, que é igual a 50. Baseado nesses dois modelos que indicam quanto cada país receberá após "t" meses, então após 5 meses, o Vietnã receberá mais carros. Então, a resposta para essa pergunta é Vietnã. O Vietnã receberá mais carros após 5 meses. Agora, a segunda pergunta: qual país terá recebido mais carros da companhia Carros Luxuosos após 7 meses, ou terá recebido mais carros após 7 meses? Mais uma vez, vamos tentar responder isso. "j(7)" é igual a "2⁷". Vejamos, "2⁶" seria 32 vezes 2... nós podemos ver isso como "2⁵" vezes 2 vezes 2. E será igual a 32 vezes 4, que é 128; e 128, então, é o número de carros que terão ido para o Japão após 7 meses. E para o Vietnã? "v(7)" é igual a 2 vezes 7, que está elevado ao quadrado Logo, isso será igual a 2 vezes 49, que é igual a 98 carros. Então, após 7 meses, o Japão terá recebido mais carros. Então, o Japão terá recebido mais carros após 7 meses. Isso é interessante. Nós vemos que a função exponencial, repare que nós temos o "t" como expoente. Embora possa começar um pouquinho mais devagar do que essa aqui, que é essencialmente uma função quadrática... a função quadrática é quando você tem alguma coisa elevada ao quadrado. Isso começa devagar, após 5 meses, você teria enviado menos carros do que usando esse modelo quadrático bem aqui, mas, depois, isso mais do que alcança, eu começo a ter uma taxa de crescimento mais e mais rápida, e, após 7 meses, ela já ultrapassou a função quadrática. Agora, a terceira pergunta: o país que recebeu mais carros da companhia Carros Luxuosos após 7 meses continuará recebendo mais carros do que o outro país nos próximos meses? Sim, absolutamente. Uma vez que a função exponencial passa a função quadrática, isso vai mais rápido e continua aumentando mais e mais rapidamente. Você poderia ver isso se nós quiséssemos comparar após 8 meses. Logo, "j(8)" (isso aqui é a função exponencial) seria igual a "2⁸", que seria isso vezes 2, o que nos daria 256 carros. E "v(8)"? "v(8)" será 2 vezes "8²", que é 2 vezes 64, que é igual a 128. Agora, repare que nós teríamos enviado duas vezes mais para o Japão do que para o Vietnã, o que não era o caso aqui em cima. Nós tínhamos enviado mais para o Japão do que para o Vietnã, mas não duas vezes mais. E nós poderíamos continuar, nós poderíamos... se você quiser nós poderíamos testar "j(9)". Então, "j(9)" seria "2⁹", que será 256 vezes 2, ou 512 carros, enquanto "v(9)" é igual a 2 vezes "9²", que dá 2 vezes 81, que é igual a 162. Agora, isso é mais do que o dobro. Na verdade, mais do que o triplo. Logo, você vê que, uma vez passados alguns meses iniciais, a função exponencial segue aumentando muito, muito, muito mais rápido. Nós poderíamos visualizar isso. Na verdade, vamos pegar uma calculadora gráfica para visualizar essas duas funções para ver como isso está acontecendo. Vamos construir o gráfico disso. Primeiramente, deixe-me construir o gráfico da exponencial. Então, bem, 2 elevado à potência... à potência "x". Eu somente direi à potência "x", eu direi que "x" é a nossa variável independente. E, agora, vamos fazer a nossa função quadrática. Ela será "y₂", embora isso seja a "v(x)". Então, vamos dizer 2 vezes "x" que está elevado ao quadrado. Agora, deixe-me ajustar as variações aqui. Então, veja: "x" começa em "0" e vamos dizer que isso vai até 10. A escala de "x" poderia ser 1, Agora, vamos ajustar o valor mínimo para "y", vamos dizer que... vamos começar com "0" em "y". Agora, o "y" máximo vamos colocar 1.000, e para a escala de "y" podemos colocar 100, então vamos de 100 em 100. E, agora eu acho que estamos prontos para construir o gráfico; então, vamos fazer isso. Mais um pouquinho... mais um pouquinho, e já teremos a função. Essa aqui que você está vendo é a exponencial, e essa outra aqui é a quadrática. Na verdade, deixe-me dar um pouquinho de zoom nisso aqui, então, nós poderíamos ver onde elas se encontram. Na verdade, deixe-me dar um pouquinho mais de zoom nisso aqui; eu vou utilizar uma caixa, eu vou fazer isso com uma caixa; então, nós realmente poderíamos ver... nós poderíamos ver onde elas se encontram, ou, pelo menos, tentar ver. Eu vou iniciar aqui. Eu vou iniciar aqui, então, eu vou arrumar a minha caixa. Então, vamos lá. É estranho utilizar uma calculadora no computador, mas você vê... mas, com certeza, você vê, mesmo que seja pelo que nós já traçamos, que a função exponencial realmente começa a inclinar para cima, e de forma muito agressiva, enquanto que a função quadrática está indo para cima, mas de forma bem leve. Bem, isso está crescendo num ritmo decente ainda, mas não tão rápido quanto a exponencial, e a diferença se torna maior, maior e maior nitidamente quando o tempo aumenta. Bom, deixa eu fazer isso aqui corretamente. Agora, vamos plotar esse gráfico; e, agora, vamos ver. Essa aqui é a função exponencial, né? Então, essa que você está vendo agora é a função exponencial, e essa que está aparecendo agora é a função quadrática. Logo, você vê... com certeza, você vê que, logo aqui no começo, a função quadrática tem resultados maiores e você pode ver isso bem aqui. Após 5 meses nós enviamos mais carros para o Vietnã, mas depois a exponencial toma a frente e continua mantendo um ritmo muito rápido de crescimento. Espero que vocês tenham gostado e até um próximo vídeo.