Se você está vendo esta mensagem, significa que estamos tendo problemas para carregar recursos externos em nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

Interpretação de mudanças em modelos exponenciais

Neste vídeo, encontramos o fator pelo qual uma quantidade varia ao longo de uma unidade de tempo em vários modelos exponenciais.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA - No primeiro dia de primavera, todo um campo de árvores em flor desabrocha. A população de gafanhotos que consomem essas flores aumenta rapidamente, com o florescimento das árvores. A relação entre o tempo decorrido, tempo dado em dias, é muito importante a gente saber qual é a unidade que está sendo dado o tempo, desde o início da primavera, e o número total de gafanhotos dado por "L(t)" é modelada pela seguinte função: "L(t)" é igual a 750, que é um fator independente, multiplicado por 1,85 elevado a "t", isso significa que nós temos uma função exponencial, ou um modelo exponencial para representar o que está acontecendo com o número de gafanhotos. Complete a seguinte frase sobre a taxa diária de mudança da população de gafanhotos. Todos os dias, a população de gafanhotos aumenta/diminui por um fator de ____, ele quer saber qual é o fator multiplicativo, e se está aumentando ou diminuindo o número de gafanhotos. Bem, para analisarmos, vamos fazer uma tabela do tempo e função de "L(t)", que é o número de gafanhotos. No instante "0", no tempo "0", vamos ter, pelo nosso modelo, "L(t)" é 750 1,85 elevado a "0", que dá 1, então nós temos o próprio 750, então partimos do número 750. No próximo dia, nós vamos ter 750, pelo nosso modelo temos 1,85, agora esse 1,85 está sendo elevado a 1. Então temos 1,85 elevado à primeira potência. No nosso segundo dia, nós temos 750 vezes 1,85 elevado à segunda potência. O tempo é 2. Então já dá para você perceber que a cada dia está sendo multiplicado pelo mesmo fator, que é 1,85. Do primeiro, do início ao primeiro dia por 1,85, do primeiro para o segundo por 1,85 e assim sucessivamente. Como 1,85 é um número maior do que 1, significa que essa função exponencial é crescente, ou seja, o número de gafanhotos cresce de forma exponencial. Nós temos inicialmente 750 gafanhotos, mas está crescendo de maneira exponencial, por isso que é tão preocupante. Sempre que o fator for maior do que 1, ela vai ter uma função exponencial crescente, quando ela é toda positiva, ela vai ser uma função exponencial crescente. Então, nosso fator é de 1,85, e 1,85 representa 1 mais 0,85. É interessante a gente observar isso porque 1 é 100% é o que eu tinha e 0,85 é 85%, é o quanto eu ganhei, ou seja, você somar 85% a um número, é a mesma coisa de multiplicar por 1,85. Ou seja, quando você está somando, mês a mês, 85%, na realidade você está multiplicando todo mês por, pela taxa de 1,85. Então, você, no primeiro dia, tem o expoente igual a 1 e no segundo dia tem o expoente igual a 2 e assim sucessivamente. Sempre calculado pelo termo anterior, ou seja, é um crescimento exponencial de fator 1,85. Então, vamos para o próximo exercício. A Vera é uma ecologista que estuda a mudança na população de ursos na Sibéria ao longo do tempo. A relação entre o tempo decorrido "t", em anos, desde que Vera começou a estudar a população e o número total de ursos "N(t)", é modelada pela seguinte função: Nós temos "N(t)" igual a 2.187 vezes dois terços elevado a "t". Então, é a função exponencial e vamos ver qual é a pergunta. Complete a seguinte frase sobre a taxa de mudança na população de ursos. Todos os anos a população de ursos aumenta ou diminui por um fator de, veja que ele deu o tempo em anos e está perguntando todos os anos o que acontece, portanto, a gente não vai ter problema de unidade. Fazendo nossa tabela, nós temos o tempo de um lado e temos o "N(t)" do outro. Quando tempo é "0" nós vamos ter 2.187 vezes dois terços elevado a "0". Dois terços elevado a "0" é 1, ou seja, inicialmente nós temos 2.187 ursos. Então, partimos desse valor, 2.187. No primeiro ano, o que acontece com o número de ursos? No primeiro ano, nós vamos ter 2.187, e nosso fator multiplicativo vai ser dois terços elevado a 1. Ou seja, nós multiplicamos por dois terços o termo anterior. Para calcularmos no segundo ano, vamos multiplicar por dois terços novamente, ou seja, nós temos 2.187 vezes dois terços, vezes dois terços, que é dois terços elevado ao quadrado. Portanto, nós vemos que nosso fator multiplicativo é dois terços, e a cada ano ele vai aumentando o expoente gradativamente, porque ele é calculado baseado no ano anterior. Então, você pega o ano inicial e multiplica por dois terços, depois pega o ano anterior, multiplica por dois terços e assim sucessivamente. Como dois terços é um número menor do que 1, nós vamos ter uma função exponencial decrescente, ou seja, a preocupação da Vera é consistente, porque você tem 2.187 ursos, mas a população de ursos está caindo de forma exponencial, significa que, à medida em que o tempo passa, o número de ursos vai tendendo a "0", ou seja, vai tendendo à própria extinção. Então, como o nosso fator é de dois terços, vamos ter que: ele diminui, ou seja, no total de anos ele diminui, e o fator, obviamente, é de dois terços. Bem, vamos ver outra questão: Akiba começou a estudar a forma como o número de galhos de sua árvore muda ao longo do tempo. A relação entre o tempo decorrido, em anos, desde que Akiba começou a estudar sua árvore o número total de ramos, é "N(t)", é modelada pela seguinte função que está aqui embaixo: "N(t)" é igual a 42 vezes 1,75 elevado a "t". O tempo é dado em anos, e ele pergunta a taxa, o percentual anual. Todo ano, qual é o percentual dos galhos que são somados ou subtraídos do número total de ramos. Então, você tem que ter cuidado porque, embora a gente esteja somando percentualmente, na realidade se você soma percentualmente todo mês uma coisa, todo ano, você está multiplicando por uma determinada taxa. Então temos o tempo e o "N(t)", você tem o tempo igual a "0", temos 42 igual, temos "N(t)" igual a 42 vezes 1,75 elevado a "0", o que vai dar 42. Então, partimos do número 42. Quando temos um ano, vamos ter 42 vezes a taxa, que é 1,75, você agora já está se acostumando a ver a taxa diretamente, veja o vídeo anterior ou pelo menos a questão anterior, e elevado à primeira. No segundo ano, temos 42 vezes 1,75 elevado à segunda, então vemos que nossa taxa é de 1,75, ou seja, a cada ano multiplicamos o ano anterior por 1,75. Então, fica 1,75 à primeira, 1,75 à segunda, e assim sucessivamente a multiplicação do termo anterior. Como 1,75 é um número maior do que 1, significa que nossa função é crescente, é uma função exponencial crescente. Ele não quer saber o fator multiplicativo, ele quer saber o quanto ele aumentou percentualmente. Já sabemos que é uma função que aumenta com o tempo. Percentualmente falando, vamos pegar um número qualquer, 1,75 vezes qualquer montante que você tenha, "a", vamos chamar de "a". Então você tem: "a" vezes 1,75 é a mesma coisa de "a" vezes 1 mais 0,75. Ora, você pegar "a" vezes 1 mais 0,75 é a mesma coisa de pegar "a" vezes 100% mais 75%. 100% é 100 sobre 100, 75% é 75 sobre 100. Então, você multiplicar por 1,75 é a mesma coisa de pegar o montante que você tem e somar com 75% dele, ou seja, a cada ano ele está somando 75% do que ele tinha no ano anterior. Isso fica evidente se a gente verificar o que está acontecendo nessa nossa função. A gente partiu de 42, quando a gente multiplicou por 1,75, na realidade o que fizemos? Pegamos 42 e somamos 42 vezes 75%, ou seja, eu peguei o termo anterior e somei com 42 vezes 75%. Do primeiro para o segundo ano, eu já pego 42 vezes 1,75, que é o termo anterior, e somo com o termo anterior, que é 42 vezes 1,75 novamente, multiplicado por 75%. Ou seja, o termo posterior sempre é somado calculado tendo como base o termo anterior. Portanto, todo ano a soma do número de galhos é de 75%. É uma função exponencial e essa soma de 75% significa multiplicar por 1,75.