Análise de tabelas de funções exponenciais

RKA - Digamos que temos aqui uma função exponencial h(n) e já que ela é uma função exponencial, ela tem a forma h(n) igual "a" vezes "r" elevado a "n", em que "a" é o nosso valor inicial e "r" é a base da potência. Vamos assumir que "r" é um número positivo. E temos também essas informações a respeito de h(n). Sabemos que quando o "n" é igual a 2, h(2) é 144; quando o "n" é 4 h(4), 324; quando o "n" é 6, o h(6) é 729. E baseado nestas informações, vamos tentar descobrir que valores são atribuídos ao "a" e ao "r". E como sempre, pause o vídeo e tente você sozinho chegar a essas respostas. Muito bem, vamos fazer agora juntos, vamos focar primeiro em "r". Se eu tivesse na tabela valores sucessivos como 2 e 3, dividindo o h(3) pelo h(2) nós já obteríamos o valor de "r". Ou dividindo h(4) pelo h(3) também chegaríamos ao valor de "r". Mas aqui, podemos fazer algo parecido com isso, dividindo o h(4) pelo h(2). A razão entre o h(4) e o h(2), ou seja, h(4) dividido pelo h(2), será 324, que o valor do h(4), dividido por 144, que é o valor do h(2). Podemos agora simplificar esta fração, vou começar dividindo ambos por 2. No numerador, eu vou chegar a 162 e o denominador 72. Dividindo por 2 novamente temos no numerador 81 e 36 no denominador. Agora podemos dividir por 9. Vamos ter aqui 9 sobre 4, ou seja, esta divisão resulta em 9 quartos. E agora podemos reescrever esta razão, 9 quartos, usando a definição da nossa função exponencial. No numerador h(4), será "a" vezes r⁴. No denominador, h(2) será "a" vezes r². E agora, vamos simplificar "a" dividido por "a" cancela. r⁴ dividido por r², temos a mesma base, portanto, basta subtrair os expoentes e teremos r² como resultado. Ou seja, r² precisa ser igual a 9 quartos. E como r² é igual a 9 quartos e "r" é um número positivo, basta calcularmos a raiz quadrada de 9 quartos para obter "r" e isso nos dá 3 meios. Acabamos de obter o valor de "r". Agora como vamos obter o valor de "a"? Temos mais de uma forma de fazer isso, mas podemos lembrar que o valor de "a" é o valor do h(0). E, para chegar lá eu vou usar um método usando uma nova tabela. Aqui, vou colocar "n". Aqui vou colocar h(n). Vou começar colocando zero, eu não sei o valor do h(0) que vai justamente ser o valor de "a". Vou colocar 1 para o "n", também ainda não sei quanto dá o h(1). Para "n" igual a 2, eu sei que o h(2) é 144. E nós já sabemos que se a base da potência é 3 meios, se eu pegar o valor de h(1) e multiplicar por 3 meios, eu chego no valor do h(2). Do mesmo modo, se eu tomar o h(0) e multiplicar por 3 meios, vou chegar ao valor do h(1). Como eu já sei o valor do h(2), então o h(1) vai ser 144 divididos por 3 meios, e isso será igual a 144 multiplicado pelo inverso do 3 meios que são 2 terços. Vamos simplificar aqui. Do 144 dividido por 3 resulta em 48, de maneira que vamos ter aqui simplesmente 48 multiplicado por 2, o que resulta em 96. Então, quando o "n" é 1, o h(1) é 96, mas queremos saber o h(0). Podemos pegar o 96 e dividir agora por 3 meios para chegar ao h(0), o que resulta em 96 vezes 2 terços. 96 dividido por 3 resulta em 32, simplificando aqui então. E agora, 32 vezes 2, resulta em 64, portanto, o h(0) é 64. Com isso, acabamos de determinar o valor inicial da nossa função exponencial que é 64, ou seja, no lugar do "a" temos aqui 64. E o "r" já sabemos que é 3 meios. Reescrevendo a função exponencial, ficamos com h(n) igual a 64 vezes, a nossa base que é o "r", vale 3 meios, então aqui 3 meios elevados a "n". Mas há outra forma de descobrir o valor de "a". Nós aqui utilizamos o método envolvendo uma tabela, mas nós poderemos resolver uma equação para descobrir o valor de "a", já que temos o "r". Nós sabemos, por exemplo, que o h(2) é calculado como "a" vezes a base que é 3 meios elevados à segunda potência, e sabemos pela tabela dada inicialmente que isso tem que resultar em 144. Portanto, "a" vezes 9 quartos tem que ser igual a 144. Temos aqui uma equação cuja incógnita é "a", podemos multiplicar os dois lados pelo inverso do 9 quartos, que são 4 nonos. Aqui vamos cancelar, o que nos dá que o "a" é igual a este cálculo, vamos ver, 144 divididos por 9, vamos fazer os cálculos, resulta em 16, então simplificando aqui, temos 16 aqui, 1 aqui e finalmente vamos efetuar 16 vezes 4. O que vai resultar em exatamente o que esperávamos, 64, ou seja, o valor de "a" realmente é 64, por este outro caminho também. Este segundo método parece ser mais rápido e por quê não dizer mais fácil? Mas o primeiro método também é interessante, porque você vê a base da função exponencial sendo aplicada aos valores da função, até que pudéssemos encontrar o valor inicial, que é justamente o "a" que estávamos procurando, que nada mais é que o h(0), então se você conhece o valor de "r", você pode usar a tabela e resolver uma equação para descobrir "a" e da mesma forma, você pode fazer o contrário, sabendo o valor de "a", usar algum valor dado para calcular o valor de "r". É isso aí. Até o próximo vídeo!