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Matemática EM: Álgebra 2

Curso: Matemática EM: Álgebra 2 > Unidade 4

Lição 5: Equações logarítmicas
Matemática
Matemática EM: Álgebra 2
Função logarítmica
Equações logarítmicas
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Resolução de equações exponenciais usando logaritmos

Google Sala de Aula
Aprenda a resolver qualquer equação exponencial da forma a⋅b^(cx)=d. Por exemplo, resolva 6⋅10^(2x)=48.
A chave para resolver equações exponenciais se encontra nos logaritmos! Vamos dar uma olhada mais de perto com alguns exemplos.

Cálculo de equações exponenciais da forma a, dot, b, start superscript, x, end superscript, equals, d

Vamos calcular 5, dot, 2, start superscript, x, end superscript, equals, 240.
Para calcular x, primeiro precisamos isolar a parte exponencial. Para isso, divida ambos os lados 5, como mostrado abaixo. Não multiplicamos o 5 e o 2 porque isso vai contra a ordem das operações!
5⋅2x=2402x=48\begin{aligned} 5\cdot 2^x&=240 \\\\ 2^x&=48 \end{aligned}
Agora, podemos calcular x convertendo a equação para a forma logarítmica.
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, x, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 48, end color #e07d10 é equivalente a log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 48, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, x, end color #1fab54.
E assim, resolvemos a equação! A solução exata é x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 48, right parenthesis.
Como 48 não é uma potência racional de 2, devemos usar a regra da mudança de base e nossa calculadora para calcular o logaritmo. Isso é mostrado abaixo.
x=log⁡2(48)=log⁡(48)log⁡(2)Regra da mudança de base≈5,585Calcule usando uma calculadora\begin{aligned} x &= \log_{2}(48) \\\\ &=\dfrac{ \log(48)}{\log(2)} &&{\gray{\text{Regra da mudança de base}}} \\\\ &\approx 5{,}585 &&{\gray{\text{Calcule usando uma calculadora}}} \end{aligned}
A solução aproximada, arredondada para a casa de milésimo mais próxima, é x, approximately equals, 5, comma, 585.

Teste seu conhecimento

1) Qual é a solução de 2, dot, 6, start superscript, x, end superscript, equals, 236?
Escolha 1 resposta:

2) Calcule 5, dot, 3, start superscript, t, end superscript, equals, 20.
Arredonde sua resposta para a casa de milésimo mais próxima.
t, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Calcule 6, dot, e, start superscript, y, end superscript, equals, 300.
Arredonde sua resposta para a casa de milésimo mais próxima.
y, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Cálculo de equações exponenciais da forma a, dot, b, start superscript, c, x, end superscript, equals, d

Vamos ver outro exemplo. Vamos calcular 6, dot, 10, start superscript, 2, x, end superscript, equals, 48
Começamos novamente isolando a parte exponencial dividindo ambos os lados por 6.
6⋅102x=48102x=8\begin{aligned} 6\cdot 10^{2x}&=48\\\\ \blueD{10}^{\greenD{2x}}&= \goldD8 \end{aligned}
Em seguida, podemos remover o expoente fazendo a conversão para a forma logarítmica.
log⁡10(8)=2x\begin{aligned} \log_{\blueD{10}}(\goldD8)&=\greenD{2x} \end{aligned}
Por fim, podemos dividir ambos os lados por 2 para calcular x.
x, equals, start fraction, space, log, start base, 10, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, divided by, 2, end fraction
Esta é a resposta exata. Para aproximar a resposta para a casa de milésimo mais próxima, podemos digitar isso diretamente na calculadora. Observe que não é necessário mudar a base, porque ele já está na base 10.
x= log⁡10(8)2= log⁡(8)2log⁡10(x)=log⁡(x)≈0,452Calcule usando uma calculadora\begin{aligned} x&=\dfrac{~{\log_{10}(8)}}{2} \\\\ &= \dfrac{~{\log(8)}}{2}&&{\gray{\log_{10}(x)=\log(x)}} \\\\ &\approx 0{,}452 &&{\gray{\text{Calcule usando uma calculadora}}}\end{aligned}

Teste seu conhecimento

4) Qual das seguintes opções é a solução de 3, dot, 10, start superscript, 4, t, end superscript, equals, 522?
Escolha 1 resposta:

5) Calcule 4, dot, 5, start superscript, 2, x, end superscript, equals, 300.
Arredonde sua resposta para a casa de milésimo mais próxima.
x, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) Calcule minus, 2, dot, 3, start superscript, 0, comma, 2, z, end superscript, equals, minus, 400.
Arredonde sua resposta para a casa de milésimo mais próxima.
z, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Desafio

7) Quais das opções a seguir são soluções para left parenthesis, 2, start superscript, x, end superscript, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, start superscript, x, end superscript, minus, 4, right parenthesis, equals, 0?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

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