Gráficos de funções logarítmicas

RKA8JV - Aqui, nós temos um gráfico, e aqui, 4 potenciais definições para a função que está desenhada neste gráfico. O que você talvez queira fazer, seja pausar esse vídeo e descobrir qual dessas funções está descrita neste gráfico. E assumindo que você tentou fazer isso, vamos trabalhar nisso juntos. Mas, antes mesmo de fazermos isso, nós podemos notar que cada uma dessas funções tem, na sua definição, o log na base 2. Nós podemos pensar como essa função, y = log(x) na base 2, se parece. Então, nós poderíamos pensar o que acontece se nós adicionássemos 1 à essa função, ou subtraíssemos 1, ou mudássemos ela um pouquinho. Vamos pensar em alguns valores interessantes para essa função. Eu vou utilizar valores para ''x'' e valores para ''y''. E vamos colocar alguns números aqui, então no lugar de ''x'' eu vou colocar 2. E por que 2? Porque eu tenho o log (2) na base 2, então eu quero descobrir a que potência 2 tem que estar elevado, para dar 2. E só pode ser 1, porque 2 elevado a 1, dá 2. Mas antes disso, deixa eu fazer com um número um pouquinho maior. Deixa eu fazer com o número 8. Então, agora eu tenho o log(8) na base 2, e agora, eu quero descobrir a que potência eu tenho que elevar o 2 para dar 8. E 2³ dá 8, então ''y" é igual a 3. Agora, vamos colocar aqui, no lugar de ''x'', vamos colocar 4. Então, a mesma coisa, log(4) na base 2. A que número 2 tem que estar elevado para dar 4? Bom, só pode ser 2, 2² dá 4. E agora, a gente vai colocar aqui o 2. Eu já sei que o log(2) na base 2 é 1, a gente já viu isso antes. Agora, vou colocar aqui o 1. E log(1) na base 2, bom, log(1) na base 2 é simples também. Se eu pegar o número 2, a que potência que eu tenho que elevá-lo para que ele dê 1? Então, 2 elevado a zero dá 1. Então, ''y" é igual a zero. Agora, vamos pensar em um número do tipo 1/2. Eu quero descobrir log(1/2) na base 2. log(1/2) na base 2, 1/2 é 2 elevado a -1, então, isso aqui vai dar -1. Agora, vamos colocar aqui, 1/4. 1/4 é a mesma coisa que 2 elevado a -2, então, isso aqui vai dar -2. E agora, vamos colocar 1/8. Se eu colocar aqui 1/8, isso é 2 elevado a -3, então, o resultado disso será -3. Portanto, agora, vamos marcar alguns desses pontos neste gráfico aqui. Quando ''x'' é 8, ''y'' é 3, então, esse ponto está mais ou menos aqui. Agora, quando ''x'' é 4, ''y'' é 2, então temos esse ponto aqui. Quando ''x'' é 2, ''y'' é 1, Quando ''x'' é 1, ''y'' é zero, é esse ponto aqui. Agora, quando ''x" é igual a 1/2, ''y'' vai dar -1, aqui na metade desse quadradinho. Agora, quando ''x" é igual a 1/4, metade disso, metade da metade desse quadradinho, isso vai dar -2. Então, está mais ou menos aqui assim. E quando ''x" é igual a 1/8, a metade disso aqui, vai dar -3, estão está mais ou menos aqui assim. E nós podemos fazer o nosso gráfico. Portanto, nós podemos traçar o nosso gráfico e nós vamos ter algo parecido com isso aqui. Então basta, agora, a gente ligar os pontos, vamos ligar os pontos, e aí teremos algo parecido com isso. Esse comportamento parece estar bem dentro do que nós esperávamos. Por quê? Porque como ''x'' se torna muito, muito, muito grande, o valor de ''y'' também vai ficar muito grande. Portanto, se ''x'' cresce muito, muito, muito, muito, o que vai acontecer com ''y''? Bom, se eu colocar um valor aqui para ''x'' muito grande, então vou ter que ter 2 elevado a uma potência muito grande para dar esse valor aqui. Bom, então o que vai acontecer? Esse valor aqui também vai crescer, mas não na mesma taxa que o ''x''. Agora quando eu me aproximo de zero, o que está acontecendo aqui? O valor está ficando muito, muito, muito, muito negativo, que é esse caso aqui. Mas você pode pensar, bom, esse valor de ''x'' nunca vai ser zero. E realmente, porque se eu colocasse zero aqui, eu teria que ter 2 elevado a alguma potência que daria zero, mas isso é impossível, então, nós não podemos ter o zero aqui. Também não podemos ter números negativos, essa função não está definida para números negativos. Portanto, essa função não está definida para zero nem para valores menores do que zero. Então, o que nós podemos dizer é que essa função, o domínio dessa função, é somente para valores positivos, e logo, essa é a função log(x) na base 2. E essa função aqui? Essa função, a única coisa que me vem à cabeça é que ela está invertida, invertida em relação ao eixo ''x''. Então, quando a gente tem uma função invertida, a gente, na verdade, não tem o log, a gente tem menos o log. Então, vamos pensar no que aconteceria se a gente desenhasse a seguinte função: ''y = -log(x) na base 2". Então, para fazermos esse gráfico, vamos ver, cada ponto aqui está invertido em relação ao eixo ''x''. E então, nós teremos: esse ponto aqui, depois nós teremos esse ponto aqui, e esse ponto aqui também, E ainda temos esse ponto aqui, e, por fim, quando temos 1/2, nós temos um ponto aqui. O nosso gráfico vai ficar parecendo com algo desse tipo aqui. Vamos só ligar esses pontos, esse gráfico vai se aproximando do eixo ''y'', e aqui embaixo também, só que ele vai se aproximando do gráfico azul. Então, ele vai se aproximando da função a azul ali. Portanto, essa é a função ''y = -log(x) na base 2''. E qual é a diferença entre o gráfico azul e o gráfico verde? Se você olhar com bastante cuidado, você vai ver que cada um desses pontos está modificado em 2 para a esquerda, então, em 2 pontos para a esquerda, cada um desses pontos. Repare só, cada um desses pontos, é como se tivesse deslocado 2 pontos para a esquerda. Então, aqui também, aqui também isso acontece, isso vai acontecer em cada um desses pontos. Então, é como se nós deslocássemos todo gráfico 2 unidades para a esquerda. E como nós fazemos para deslocar o gráfico 2 unidades para a esquerda? Isso acontece quando nós substituímos o ''x'' por ''x + 2''. Então, isso acontece quando nós substituímos o ''x'' por "x + 2''. Uma outra maneira de pensar nisso é: aqui, você tinha a assíntota em ''x = 0'', quando você tinha aqui ''x = 0''. Agora, aqui é quando nós temos toda a expressão igual a zero, ou seja, ''x + 2 = 0'', e ''x + 2" é igual a zero quando ''x = -2''. Então, nós teremos uma assíntota aqui, nós teremos uma assíntota em ''x = -2''. Portanto, eu encorajo você a pegar cada um desses valores e substituir nessa expressão. Ao substituir os valores nessa expressão, você vai ter esse gráfico novo aqui. Então, esse gráfico é representado por essa expressão. E se você não acredita em mim, pode tentar fazer com todos esses valores. Espero que vocês tenham gostado, e até um próximo vídeo!