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Conteúdo principal

Introdução aos logaritmos

Aprenda o que são logaritmos e como calculá-los. 

Que conceitos você deve conhecer antes de iniciar essa lição

Você deve estar familiarizado com expoentes e, preferencialmente, com expoentes negativos.

O que você vai aprender nessa lição

Você aprenderá o que são logaritmos e saberá como calcular alguns logaritmos básicos. Isso vai prepará-lo para seu trabalho futuro com expressões e funções logarítmicas.

O que é um logaritmo?

Logaritmos são uma outra forma de pensar em expoentes.
Por exemplo, sabemos que start color #11accd, 2, end color #11accd elevado a start color #0d923f, 4, end color #0d923f, start superscript, start text, a, end text, end superscript potência é igual a start color #e07d10, 16, end color #e07d10. Isso é expressado pela equação exponencial start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10.
Agora, suponha que alguém nos tenha perguntado, "start color #11accd, 2, end color #11accd elevado a qual potência é igual a start color #e07d10, 16, end color #e07d10"? A resposta seria start color #0d923f, 4, end color #0d923f. Isso é expresso pela equação logarítmica log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, lida como "log de dezesseis na base dois é igual a quatro".
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, \Longleftrightarrow, log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f
Ambas as equações descrevem a mesma relação entre os números start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f e start color #e07d10, 16, end color #e07d10, em que start color #11accd, 2, end color #11accd é a base e start color #0d923f, 4, end color #0d923f é o expoente.
A diferença é que, enquanto a forma exponencial isola a potência, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, a forma logarítmica isola o expoente, start color #1fab54, 4, end color #1fab54.
Temos aqui mais exemplos de equações logarítmicas e exponenciais equivalente.
Forma logarítmicaForma exponencial
log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10

Definição de logaritmo

Generalizar os exemplos acima leva à definição formal de um logaritmo.
log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, c, end color #1fab54, \Longleftrightarrow, start color #11accd, b, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, c, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, a, end color #e07d10
As duas equações descrevem a mesma relação entre start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd e start color #0d923f, c, end color #0d923f:
  • start color #11accd, b, end color #11accd é a start color #11accd, start text, b, a, s, e, end text, end color #11accd,
  • start color #0d923f, c, end color #0d923f é o start color #0d923f, start text, e, x, p, o, e, n, t, e, end text, end color #0d923f, e
  • start color #e07d10, a, end color #e07d10 é chamado de start color #e07d10, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, o, end text, end color #e07d10.

Uma observação útil

Quando reescrevemos uma equação exponencial em forma de log, ou uma equação logarítmica na forma exponencial, é importante lembrar que a base do logaritmo é igual à base do expoente.

Teste seu conhecimento

Nos problemas a seguir, você vai fazer a conversão entre as formas exponencial e logarítmica das equações.
Problema 1
Qual das alternativas a seguir é equivalente a 2, start superscript, 5, end superscript, equals, 32?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Problema 2
Qual das alternativas a seguir é equivalente a 5, cubed, equals, 125?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Problema 3
Escreva log, start base, 2, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, 6 na forma exponencial.

Problema 4
4) Escreva log, start base, 4, end base, left parenthesis, 16, right parenthesis, equals, 2 na forma exponencial.

Cálculo de logaritmos

Ótimo! Agora que compreendemos a relação entre expoentes e logaritmos, vamos ver se conseguimos calcular os logaritmos.
Por exemplo, vamos calcular log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis.
Vamos começar igualando essa expressão a x.
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, x
Escrevendo isso como uma equação exponencial, temos o seguinte:
4, start superscript, x, end superscript, equals, 64
4 elevado a qual potência é 64? Bem, start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, então log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Conforme você vai adquirindo mais prática, você pode se ver resumindo algumas dessas etapas e calculando log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis apenas se perguntando: "4 elevado a qual potência é igual 64?"

Teste seu conhecimento

Lembre-se, quando você calcula log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, você pode se perguntar: "start color #11accd, b, end color #11accd elevado a que potência é start color #e07d10, a, end color #e07d10?"
Problema 5
log, start base, 6, end base, left parenthesis, 36, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 6
log, start base, 3, end base, left parenthesis, 27, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 7
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 8
log, start base, 5, end base, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Desafio
log, start base, 3, end base, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 9, end fraction, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Restrições em variáveis

log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis é definido quando a base b é positiva—e diferente de 1—e o argumento a é positivo. Essas restrições são um resultado da conexão entre logaritmos e expoentes.
RestriçãoRaciocínio
b, is greater than, 0Em uma função exponencial, a base b é sempre definida como positiva.
a, is greater than, 0log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c significa que b, start superscript, c, end superscript, equals, a. Como um número positivo elevado a qualquer potência é positivo, ou seja b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0, então a, is greater than, 0.
b, does not equal, 1Suponha por um momento que b pudesse ser 1. Agora, considere a equação log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x. A forma exponencial equivalente seria 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3. Mas isso não pode ser verdadeiro nunca, pois 1 elevado a qualquer potência é sempre 1. Portanto, b, does not equal, 1.

Logaritmos especiais

Embora a base de um logaritmo possa ter vários valores diferentes, há duas bases que são usadas com mais frequência do que outras.
De maneira específica, a maioria das calculadoras só tem botões para esses dois tipos de logaritmos. Vamos ver quais são.

O logaritmo comum

O logaritmo comum é um logaritmo cuja base é 10 ("logaritmo de base 10").
Ao escrever esses logaritmos matematicamente, nós omitimos a base. Entende-se que ela é igual a 10.
log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, log, left parenthesis, x, right parenthesis

O logaritmo natural

O logaritmo natural é um algoritmo cuja base é o número e ("logaritmo de base e").
Em vez de escrever a base como e, indicamos o logaritmo com natural log.
log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Esta tabela resume o que precisamos saber sobre esses dois logaritmos especiais:
NomeBaseNotação regularNotação especial
Logaritmo comum10log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesislog, left parenthesis, x, right parenthesis
Logaritmo naturalelog, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesisnatural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Embora a notação seja diferente, a ideia por trás do cálculo do logaritmo é exatamente a mesma!

Por que estamos estudando logaritmos?

Como você acabou de aprender, os logaritmos invertem os expoentes. Por isso, eles são muito úteis na resolução de equações exponenciais.
Por exemplo, o resultado de 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 pode ser dado na forma de logaritmo, x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. Você aprenderá a calcular essa expressão logarítmica nas próximas lições.
As expressões e funções logarítmicas também acabam sendo muito interessantes por sua vez e, na realidade, são muito comuns no mundo à nossa volta. Por exemplo, diversos fenômenos físicos são medidos com escalas logarítmicas.

E agora?

Saiba mais sobre as propriedades dos logaritmos que nos ajudam a reescrever expressões logarítmicas e sobre a regra da mudança de base, que nos permite calcular qualquer logaritmo que quisermos usando a calculadora.

Quer participar da conversa?

  • Avatar piceratops seed style do usuário augustopinheiroarq
    May it have a paragraph explaining about exponential fraction, with negative and positive signs?
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  • Avatar mr pants teal style do usuário Isabel Martins
    sobre a questão do desafio log3 1/9, como descubro o resultado -2?
    (7 votos)
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    • Avatar leafers seedling style do usuário Daniel Peixoto
      Uma das regras de potência diz que quando o expoente é negativo inverte-se a base e muda o sinal do expoente para toná-lo positivo. Neste caso, você vai fazer o processo inverso, mudando o sinal do expoente que ficará negativo. Então (1/9) <=> (1/3²). Invertendo a base o expoente muda de sinal 3^{-2}.
      (17 votos)
  • Avatar aqualine seed style do usuário Marcos Aurelio
    como calcular números como log0,333 1/3 = X
    (0 votos)
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    • Avatar aqualine tree style do usuário MMMateus
      0,333 é igual a 1/3, Então você ta calculando o log de 1/3 na base 1/3
      Se elevarmos 1/3 a primeira potência, teremos o próprio 1/3, então a resposta é 1.
      A dica é: sempre que você tiver numeros decimais no logaritmando ou na base, transforme-os em frações, fica bem mais facil de trabalhar.
      (20 votos)
  • Avatar blobby green style do usuário oliveirafranciscafran
    como resolver equações de log
    (1 voto)
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  • Avatar aqualine tree style do usuário HELCIO SANTOS
    Só fiquei curioso pra saber qual o expoente de 2 dá 5?
    (1 voto)
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  • Avatar starky seedling style do usuário SAXZX
    easy muito easy easy dms easy
    (0 votos)
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