If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Transcrição de vídeo

RKA8JV - Digamos que você está desesperado atrás de dinheiro, você chega até mim, eu sou o agiota do lugar onde você mora, e aí você fala para mim: "cara, eu preciso de R$1,00 emprestado". Aí, eu falo para você: ''tá, beleza, eu te empresto R$1,00 real, mas você vai me pagar esse R$1,00 um ano depois", digamos. Vou colocar aqui, um ano depois, certo? Com juros de 100%. Então, você vai me pagar com 100% de juros, e isso aqui um ano depois. Então, quanto você vai me pagar depois desse período? Bom, R$1,00 que você me pediu emprestado, certo? Eu vou botar aqui, R$1,00 emprestado, mais 100% de R$1,00, ou seja, vai dar o próprio R$1,00. No final das contas, você sabe muito bem, quando você for me pagar esse valor, você vai me pagar o dobro do que você me pediu emprestado, é ou não é? Olha só, se pediu R$1,00, você vai pagar 1 + 1, que dá igual a 2, beleza? Então, ao final de um ano, você vai me pagar R$2,00. Mas aí você pensa o seguinte: ''e se eu tivesse o dinheiro antes?'' Você chega para mim assim: "eu preciso de R$1,00, mas e se eu quiser pagar, digamos, em 6 meses?'' Aí é o seguinte, aqui, você vai me pedir R$1,00 emprestado, tá? E vai me pagar após 6 meses. Então, digamos, até aqui assim, né? Em 6 meses eu vou dividir esses juros aqui ao meio, então, 50%. 50% em 6 meses, beleza? Aqui é 1 ano, aqui é 6 meses. Então, se você vai pagar em 6 meses com 50% de juros, você vai me pagar no final das contas, aquele R$1,00 que você me pediu emprestado, mais 50% de R$1,00, é ou não é? Então, 50% de R$1,00, 50 centavos. R$1,00 + R$0,50, isso aqui é a mesma coisa que R$1,50, beleza? Agora, digamos o seguinte: "beleza, e se eu não tiver ainda o dinheiro total para te pagar aqui?" Como é que funciona? Então, eu te emprestaria por mais 6 meses esse valor, e te cobraria mais 50% desse valor, mais 6 meses aqui. E aí, ficaria o seguinte: você me pagaria esses R$1,50 aqui, mais 50% de R$1,50. A metade de R$1,50? R$0,75. Pagaria isso daqui. Então, no final das contas, você me pagaria aqui R$2,25. Então, aqui é o seguinte, você percebe comigo que, nesse primeiro cenário, onde você tem aqui os juros de 100% durante um ano, basta você multiplicar o valor que pegou emprestado aqui por 2, certo? 1 vezes 2 que vai dar o valor final que você tem que você tem que me pagar, vai ser R$2,00, o dobro, certo? Então isso aqui é a mesma coisa que pegar aquele R$1,00 que você pegou emprestado lá no começo, e multiplicar isso por (1 + 1), né, que é a mesma coisa que 2. Então, você vai multiplicar por 2 elevado à primeira potência, porque é o único período de tempo aqui, 1 ano. Você vai pagar depois de 1 ano, então, 1 vezes 2¹. Já aqui, não. Você percebe o seguinte: aqui, nesse primeiro período de 6 meses, eu vou multiplicar esse valor que você pegou emprestado por 1,5. 50% é 0,5, então multiplico por 1,5 para saber o quanto você tem que pagar aqui. R$1,50, né, 1,5 vezes 1 vai dar 1,50. Nesse outro período aqui, de novo, eu vou multiplicar mais uma vez por 1,5, e aí a mesma coisa acontece. 1,50 vezes 1,5. Eu vou ter 2,25, que é o quanto você tem que me pagar no final das contas. Então aqui ficaria o seguinte: R$1,00 que você me pediu emprestado lá no começo, certo? Multiplicado por 1,50, que eu multipliquei duas vezes né, aqui e aqui, ou seja, quando eu multiplico 1,5 por ele próprio duas vezes, é 1,5². Agora, o que eu posso fazer aqui é o seguinte, eu posso reescrever essas duas continhas aqui da seguinte maneira. Isso daqui é a mesma coisa que 1, nessa primeira conta aqui né, é a mesma coisa que 1, que vai multiplicar por (1 + 100%/1)¹. Caraca, não entendi nada. Aqui é o seguinte, olha só. 1 + 1, aqui daria 1 + 1 né, que é igual a 2, tá, aí 2¹. Aqui também não daria a mesma coisa? 100% é 1, 1 dividido por 1 dá 1, 1 + 1 dá 2, 2¹. É só uma maneira mais chique de escrever essa mesma expressão aqui para gente poder comparar com o que vou escrever aqui agora. Olha só, então, aqui é 100%, que é a taxa de juros que eu estou cobrando, dividido por um período de tempo, elevado por esse período de tempo aqui, então 1, e aqui 1. Deixa eu fazer de uma outra cor esse elevado, para ficar mais fácil de perceber. Então 1 e aqui 1, beleza? Agora, naquele outro cenário ali. Nesse outro cenário, R$1,00 que pediu emprestado, certo? E ali vai multiplicar por quanto? Mais uma vez, 1 mais, aí aqui vai ser o seguinte, 100%, que é o juros total, 50 e 50, vai dar 100% né, então, 100% dividido por 2, porque são dois períodos, esse período de 6 meses e esse período de 6 meses, então dividido por 2, e tudo isso elevado a 2, porque são dois períodos. Você percebe que vai dar essa mesma conta aqui, 100%/2 dá 50%, 1 + 50%, mesma coisa que 1,5 né, elevado ao quadrado. Então, você percebe que é isso que acontece, beleza? E, dessa forma, você começa a perceber um padrão. De repente, você olha para 2,25 e fala: "ah, isso aqui é mais do que R$2,00, então eu prefiro pagar assim''. Mas e se, de repente, eu dividir essa dívida em 12 meses? Como é que ficaria a situação? Bom, eu pegaria esse mesmo R$1,00 aqui emprestado né, e o que aconteceria? No primeiro mês, eu iria te cobrar quanto de juros? Eu te cobraria 100%/12, né? Porque você vai dividir em 12 períodos aqui. 100%/12 é a mesma coisa que 8⅓ por cento, ou seja, é a mesma coisa que multiplicar por 1,0833333... uma dízima periódica aqui, beleza? Então, no primeiro mês, eu vou ter que fazer esse 1 vezes (1,083)¹. No segundo mês aqui, novamente, eu multiplicaria por esse mesmo valor, e aí, eu teria que multiplicar por 1,083², certo? Generalizando isso aqui para 12 meses, bom, para 12 meses, eu vou fazer aqui, eu não vou colocar mês a mês, eu vou fazer assim para ficar mais fácil a visualização. No final de 12 meses, aqui é para o primeiro mês, para o primeiro mês eu pego 1,08333... repetido né, e elevo à primeira potência. Para o segundo mês, eu elevo à segunda potência, para o décimo segundo mês eu faço o que? Eu faço 1,083333, aqui tem uma dízima periódica, elevado à décima segunda potência, ou seja, o que vou fazer aqui é pegar o dinheiro que te emprestei inicialmente lá, R$1,00 real né, e vou multiplicar isso por quanto? Ora, por (1 + 100%/12), que é o período que eu estou considerando agora, 12 né, elevado a 12. E aí? Isso daqui vai dar igual a quanto então? Bom, para fazer essa conta vou usar a calculadora. Eu vou usar um valor aproximado, porque eu vou usar a calculadora, então aqui vai ser o seguinte, olha só. Calcula aqui comigo. Isso vai ser, se eu multiplicar por 1 não altera nada né, então, eu vou fazer só essa parte aqui de dentro, transformando 100% em 1, 100% é a mesma coisa que 1 né? Então, o que eu vou ter aqui vai ser 1, mais, agora o que eu tenho aqui vai ser 1/12 né, então, 1 dividido por 12, e tudo isso elevado a 12. Então isso daqui vai dar igual a quanto? Olha aí, 2,613 aproximadamente. Vamos lá, vou botar aqui, isso dá aproximadamente 2,613, etc. Então, um valor aproximado. E aí você começa a ficar interessado nisso daqui né, porque você percebe que aqui eu eu fiz apenas no período de um ano né, 100% por 1 ano e deu 2. Aqui, eu fiz em dois períodos de 6 meses, os mesmos 100% aqui, dividido em dois períodos, aí viraram os juros compostos né, e aí você percebeu que deu 2,25. Ao fazer em 12 meses, isso deu 1,08333, multiplicado por ele próprio durante 12 vezes, que dá 2,613, certo? E aí você vai se perguntar aqui o seguinte: ''e se eu fizer isso durante todos os dias, 365 dias?'' Bom, se isso acontecer o padrão se repete né, você pega R$1,00 emprestado aqui, certo? E aí é o seguinte: a cada período, vai ser no caso um dia, porque em 1 ano vai ter 365 dias né, então eu vou, para cada novo dia, te cobrar 100%, 100%/365, é ou não é? Isso vai seguindo durante todos os dias do ano, até chegar lá no finalzinho. Portanto aqui, lá no finalzinho, vou fazer de amarelo assim, você vai ter que me pagar quanto? Você vai ter que me pagar aquele R$1,00 que você pediu emprestado, e vai multiplicar esse valor aqui por esse mesmo padrão, então, 1(1+100%/365) elevado, né, deixa eu botar aquilo ali na mesma cor, 365, elevado a 365. Para fazer essa conta aqui, novamente eu vou usar a minha calculadora. Então vamos lá, olha só. Aqui eu vou ter que multiplicar por 1, não vai mudar o resultado de nada né, então, eu vou fazer só essa parte de dentro. Então, eu vou ter o seguinte: (1 mais 1/365), tudo isso elevado a 365. Quanto que dá isso daqui então? Olha só. 2,714567 etc. Eu vou colocar o valor aproximado aqui. Portanto, isso daqui é, aproximadamente, nós fizemos na calculadora né, vai dar um valor bem aproximado, 2,714567 etc, beleza? O valor aproximado aqui. E aí uma coisa interessante acontece, olha só. Em vez desse número aqui explodir para um número gigantesco, sei lá, parece que quanto mais você divide esse prazo, esse número aqui, final, vai se aproximando de um determinado número místico, mágico talvez, na matemática. De fato, se você continuar ampliando esses valores, aqui no caso foi 365, mas se você continuar ampliando esses valores, esse número aqui vai convergir cada vez mais para um número que talvez seja o número mais místico, mais mágico de toda a matemática, que é o número ''e''. Esse número ''e'' você pode calcular aqui na calculadora também. Nessa minha calculadora, ele aparece bem aqui assim, na segunda função, aqui, e¹, vou botar e¹ para você ver o valor do ''e'' né. O e¹, olha só, 2,718287 etc. Portanto, quanto maior for a quantidade de períodos, eu te encorajo aí na sua casa, a testar esses valores aqui todos para um número cada vez maiores, tá? Você vai ver que vai se aproximar cada vez mais desse número aqui, que talvez seja o número mais mágico, mais místico da matemática, como eu falei, beleza? E aí, você vai chegar no seu agiota e vai falar que esse daqui é o limite máximo que pode atingir, beleza? Até o próximo vídeo!