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Conteúdo principal

Introdução à regra da mudança de base do logaritmo

Aprenda a reescrever qualquer logaritmo usando logaritmos de bases diferentes. Isso é muito útil para calcular logaritmos na calculadora!
Suponha que queiramos calcular o valor da expressão log2(50). Como 50 não é uma potência racional de 2, é difícil fazer esse cálculo sem uma calculadora.
Contudo, a maioria das calculadoras só calcula diretamente logaritmos na base 10 e na base e. Assim, para calcular o valor de log2(50), primeiro precisamos mudar a base do logaritmo.

Regra da mudança de base

Podemos mudar a base de qualquer logaritmo usando a seguinte regra:
Observações:
  • Quando usamos essa propriedade, você pode escolher mudar o logaritmo para qualquer base x.
  • Como sempre, os argumentos dos logaritmos devem ser positivos e as bases devem ser positivas e diferentes de 1 para que essa propriedade seja válida!

Exemplo: como calcular log2(50)

Se seu objetivo é encontrar o valor de um logaritmo, mude a base para 10 ou e, já que esses logaritmos podem ser calculados na maioria das calculadoras.
Então, vamos mudar a base de log2(50) para 10.
Para fazer isso, aplicamos a regra da mudança de base com b=2, a=50, e x=10.
log2(50)=log10(50)log10(2)Regra da mudança de base=log(50)log(2)Comolog10(x)=log(x)
Agora, podemos encontrar o valor usando a calculadora.
log(50)log(2)5,644

Teste seu conhecimento

Problema 1
Calcule log3(20).
Arredonde sua resposta para a terceira casa decimal.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 2
Calcule log7(400).
Arredonde sua resposta para a terceira casa decimal.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 3
Calcule log4(0,3).
Arredonde sua resposta para a terceira casa decimal.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Justificativa da regra da mudança de base

Nesse ponto, você deve estar pensando, "ótimo, mas por que essa regra funciona?"
logb(a)=logx(a)logx(b)
Vamos começar com um exemplo concreto. Usando o exemplo acima, queremos mostrar que log2(50)=log(50)log(2).
Vamos usar n para denotar log2(50). Em outras palavras, temos log2(50)=n. A partir da definição de logaritmos, temos que 2n=50. Agora podemos realizar uma sequência de operações nos dois lados dessa equação para que a igualdade seja mantida:
2n=50log(2n)=log(50)Se A=B, entãolog(A)=log(B)nlog(2)=log(50)Regra da potêncian=log(50)log(2)Divida os dois lados porlog(2)
Já que n foi definido como log2(50), temos que log2(50)=logx(50)logx(2), como esperado!
Pela mesma lógica, podemos provar a regra da mudança de base. Basta substituir 2 por b, 50 por a e escolher qualquer base x como a nova base e você terá a sua prova!

Desafios

Desafio 1
Calcule log(81)log(3) sem usar uma calculadora.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Desafio 2
Qual expressão equivale a log(6)log6(a)?
Escolha 1 resposta:

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