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Cálculo de logaritmos: regra da mudança de base

Neste vídeo, aproximamos log₅(100) reescrevendo-o como log(100)/log(5) usando a regra da mudança de base e depois fazemos o cálculo com uma calculadora. Criado por Sal Khan e Instituto de Tecnologia e Educação de Monterey.

Transcrição de vídeo

RKA - Use a fórmula da mudança de base para encontrar log₅ 100 ao milésimo mais próximo. A fórmula da mudança de base é uma fórmula útil, especialmente quando vai utilizar uma calculadora, porque a maioria delas não permite que se altere arbitrariamente a base de seu logaritmo. Elas têm funções para logaritmo de base "e", que é um logaritmo natural, e "log₁₀". Geralmente, tem que mudar sua base. E é o que a fórmula da mudança da base faz. Se tiver tempo, vou falar porque faz sentido ou como dá para obter. A fórmula da mudança de base apenas informa que o log... (deixa eu usar algumas cores), "logₐ b" é exatamente o mesmo que "logₓ" (onde "x", e é uma base arbitrária) de "b" sobre log na base "e", essa mesma base "x", de "a". E isso é útil porque dá para alterar nossa base. Aqui estão nossas bases; "a" e dá para mudar para base "x". Então, se nossa calculadora tem uma certa função "base x", podemos converter para essa base. Normalmente é "e" ou base "10". Base 10 é uma maneira fácil de se fazer. Geralmente, dá para observar alguém escrevendo um logaritmo como esse. E, se só escrevem o "log x", eles estão indicando, implica base 10: "log₁₀ x". Se alguém escreve "logₙ x" estão indicando "logₑ x"; e "e", obviamente, é o número irracional "2,71", que continua para sempre. Agora, vamos aplicar a esse problema. Precisamos descobrir "log₅ 100" (base 5 de 100). Esta propriedade, esta fórmula da mudança de base, diz exatamente a mesma coisa como log... vou fazer "x = 10", "log₁₀ 100" dividido por "log₁₀ 5". Realmente, nem precisamos da calculadora para fazer essa parte em cima. "Log₁₀ 100", a qual potência terei que elevar 10 para chegar a 100? À 2ª potência. Esse numerador é apenas igual a 2, se simplifica a "2/log₁₀ 5". Agora, podemos usar a calculadora porque a função "log" na calculadora é na base 10. Vamos pegar a calculadora (e queremos limpar), 2 dividido por... quando alguém apenas escreve "log", significa na base 10. Se aperta o "ln", então significa na base "e", então, "log" sem qualquer outra informação é "log₁₀". Isso é, "log₁₀ 5"... é igual a "2,86". Eles querem e ao milésimo mais próximo; então "2,861", e é aproximadamente igual a "2,861". Dá para verificar porque, na teoria, se elevar 5 a essa potência, devo obter 100. E faz sentido, pois 5 à 2ª potência é 25, 5 à 3ª potência é 125, e está no meio dos dois e é mais próximo à 3ª potência do que à 2ª potência. Esse número é mais próximo a 3 do que a 2. Vamos verificar. Se eu elevar 5 a essa potência (e posso digitar, vou digitar o que acabamos de fazer ao milésimo mais próximo)... 5 elevado a "2,861" (não estou colocando todos os algarismos após a vírgula). O que eu consigo? "99,94". Se colocar todos esses dígitos deverá se aproximar a 100. Então, é isso que dá uma boa sensação que esta é a potência a qual tenho que elevar 5 para chegar a 100. Com isso fora do caminho, vamos realmente pensar em como esta propriedade faz sentido. Se eu escrever "logₐ b", digamos que ajustei para ser igual a algum número, vamos chamá-lo igual a "c", ou poderia ser "e". Então, direi que é igual a "c", que significa que "a ͨ " ("a" à potência "c") é igual a: "b". Esta é uma forma exponencial de escrever essa verdade. Essa é uma forma logarítmica de escrever essa verdade. Isto é igual a "b". Agora, dá para pegar o logaritmo de qualquer base dos dois lados disso. Qualquer coisa que fizer... se disser: "10 à que potência é igual isto?" 10 à mesma potência será igual a isto, pois essas duas coisas são iguais uma a outra. Vamos pegar o mesmo logaritmo dos dois lados com a mesma base. E, realmente, eu vou fazer "logₓ" para provar o caso. Vou pegar a base "x", "log" dos dois lados disso, então é "logₓ (a ͨ )" (tentarei ser fiel às cores) e é igual a "logₓ (b)" (vamos fechar com a cor laranja também). A gente sabe das nossas propriedades logarítmicas. O "log (a ͨ )" é o mesmo que "c" vezes o logaritmo de qualquer base que esteja "a". E, é claro, que será igual a "logₓ b"; será igual a "logₓ b". Posso escrever um "b"; e, se quer achar "c", pode dividir os dois lados pelo "logₓ a" e tem "c" é igual a (vou ficar com a cor) e, então, é "logₓ b". que é sobre "logₓ a". E é "c". "c" é "logₐ b"... é igual a "logₐ b" (vou escrever assim, vou usar as cores originais, só para que fique bem claro o que eu estou fazendo aqui; eu acho que sabe aonde estamos indo, mas eu quero fazer justiça às cores). "c" é igual a "logₓ b" sobre (vou descer um pouquinho) "logₓ", dividindo os dois lados por isso de "a". A gente sabe que posso apenas cortar e colar, que também é igual a "c". É assim que fizemos na definição. Vou copiar e depois colar. Então, é também igual a "c". E terminamos. A gente provou a fórmula da mudança de base. "logₐ b" é igual a "logₓ b" dividido por "logₓ a". Nesse exemplo, "a" era 5, "b" é 100, e a base para a qual mudamos é 10. "x" é 10.