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Matemática EM: Álgebra 2
Curso: Matemática EM: Álgebra 2 > Unidade 4
Lição 4: Mudança de base- Cálculo de logaritmos: regra da mudança de base
- Introdução à regra da mudança de base do logaritmo
- Cálculo de logaritmos: regra da mudança de base
- Como usar a regra da mudança de base para logaritmos
- Use a regra da mudança de base dos logaritmos
- Prova da regra da mudança de base para logaritmos
- Revisão das propriedades dos logaritmos
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Prova da regra da mudança de base para logaritmos
Neste vídeo, provamos a regra da mudança de base para logaritmos, logₐ(b)=logₓ(b)/logₓ(a). Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA - Nesse vídeo, quero provar a fórmula
de mudança de base para logaritmos, que nos diz que, se quero descobrir o
"logaritmo na base a de x" ("logₐ x"), posso descobrir pegando logaritmos com
uma base diferente que isto. Seria igual ao "logaritmo base b",
ou alguma outra base... "base b de x" dividido pelo
"logaritmo base b de a". Este é um resultado muito útil. Se sua
calculadora só tem logaritmo natural ou "log₁₀", podem usar isso para descobrir o
logaritmo usando qualquer base. Se quiser descobrir o
"log₂"... vou explicar... se quiser descobrir o "logaritmo
base"... digamos, "base 3 de 25", podem usar a calculadora usando "log₁₀" ou "log₂".
Dá para falar que será igual a "log₁₀ 25"... (e a maioria das calculadoras tem um
botão para isso)... dividido por "log₁₀ 3". Portanto, esta é uma aplicação da mudança
da fórmula de base. Mas vamos provar. Digamos que eu quero... vamos estabelecer o "logaritmo base a
de x" como igual a alguma nova variável. Vamos chamar esta variável de "y".
Estamos apenas chamando isso de "y". Isso é apenas outra maneira de
dizer que "a" elevado a "y" é igual a "x". A gente pode reescrever como "aʸ = x" Vou escrever o "x" mais longe porque
eu vou... essas duas coisas são iguais. Esta é apenas outra forma de
reafirmar o que escrevemos aqui em cima. Vamos introduzir, agora,
o "logaritmo base b". Para introduzir, vou colocar o
"log base b" dos dois lados da equação. Vamos colocar o "logaritmo base b" do lado
esquerdo e o "logaritmo base b" do lado direito. A gente sabe, com base nas propriedades logarítmicas, que o logaritmo de algo elevado a uma potência é, exatamente, a mesma coisa que a potência
vezes o logaritmo dessa alguma coisa. Assim, o "logaritmo base b de (aʸ)" é a mesma
coisa que "y" vezes o "logaritmo base b de a". Esta é apenas uma propriedade
logarítmica tradicional, nós já provamos em outro vídeo e já sabemos que
isso será igual ao lado direito, será igual a "log base b de x" Vamos, agora, resolver para "y". E é
interessante porque "y" era essa coisa logo aqui, mas, agora, se calcular o "y", iremos calcular
"y" em termos do "logaritmo base b". Para calcular "y", a gente precisa apenas dividir os
dois lados dessa equação por "log base b de a". Dividimos por "log base b de a"
no lado esquerdo e dividimos por "log base b de a"
no lado direito. Do lado esquerdo, esses
dois caracteres vão se cancelar, e temos... (e merecemos agora um rufar de
tambores!)... que "y" é igual a "log base b de x" dividido por "log base b de a". Vou escrever. Vou copiar e colar para
não ter que ficar trocando de cor. Vou colar. Pronto, terminamos. Tenho a
fórmula de mudança de base. E lembre-se: "y" é igual a isso aqui em cima. "y" é "logₐ". Na verdade, é melhor
explicar: "y", que é igual a "logₐ", que é igual a "logₐ x"
(vou copiar e colar). "y" é igual a isso aqui, que é como
definimos em cima: "y = logₐ x". E acabamos de mostrar também é igual a
isto se o escrever em termos de "base b". E a gente tem nossa
fórmula de mudança de base. É isso aí.
Até o próximo vídeo.