Prova da regra da mudança de base para logaritmos

RKA - Nesse vídeo, quero provar a fórmula de mudança de base para logaritmos, que nos diz que, se quero descobrir o "logaritmo na base a de x" ("logₐ x"), posso descobrir pegando logaritmos com uma base diferente que isto. Seria igual ao "logaritmo base b", ou alguma outra base... "base b de x" dividido pelo "logaritmo base b de a". Este é um resultado muito útil. Se sua calculadora só tem logaritmo natural ou "log₁₀", podem usar isso para descobrir o logaritmo usando qualquer base. Se quiser descobrir o "log₂"... vou explicar... se quiser descobrir o "logaritmo base"... digamos, "base 3 de 25", podem usar a calculadora usando "log₁₀" ou "log₂". Dá para falar que será igual a "log₁₀ 25"... (e a maioria das calculadoras tem um botão para isso)... dividido por "log₁₀ 3". Portanto, esta é uma aplicação da mudança da fórmula de base. Mas vamos provar. Digamos que eu quero... vamos estabelecer o "logaritmo base a de x" como igual a alguma nova variável. Vamos chamar esta variável de "y". Estamos apenas chamando isso de "y". Isso é apenas outra maneira de dizer que "a" elevado a "y" é igual a "x". A gente pode reescrever como "aʸ = x" Vou escrever o "x" mais longe porque eu vou... essas duas coisas são iguais. Esta é apenas outra forma de reafirmar o que escrevemos aqui em cima. Vamos introduzir, agora, o "logaritmo base b". Para introduzir, vou colocar o "log base b" dos dois lados da equação. Vamos colocar o "logaritmo base b" do lado esquerdo e o "logaritmo base b" do lado direito. A gente sabe, com base nas propriedades logarítmicas, que o logaritmo de algo elevado a uma potência é, exatamente, a mesma coisa que a potência vezes o logaritmo dessa alguma coisa. Assim, o "logaritmo base b de (aʸ)" é a mesma coisa que "y" vezes o "logaritmo base b de a". Esta é apenas uma propriedade logarítmica tradicional, nós já provamos em outro vídeo e já sabemos que isso será igual ao lado direito, será igual a "log base b de x" Vamos, agora, resolver para "y". E é interessante porque "y" era essa coisa logo aqui, mas, agora, se calcular o "y", iremos calcular "y" em termos do "logaritmo base b". Para calcular "y", a gente precisa apenas dividir os dois lados dessa equação por "log base b de a". Dividimos por "log base b de a" no lado esquerdo e dividimos por "log base b de a" no lado direito. Do lado esquerdo, esses dois caracteres vão se cancelar, e temos... (e merecemos agora um rufar de tambores!)... que "y" é igual a "log base b de x" dividido por "log base b de a". Vou escrever. Vou copiar e colar para não ter que ficar trocando de cor. Vou colar. Pronto, terminamos. Tenho a fórmula de mudança de base. E lembre-se: "y" é igual a isso aqui em cima. "y" é "logₐ". Na verdade, é melhor explicar: "y", que é igual a "logₐ", que é igual a "logₐ x" (vou copiar e colar). "y" é igual a isso aqui, que é como definimos em cima: "y = logₐ x". E acabamos de mostrar também é igual a isto se o escrever em termos de "base b". E a gente tem nossa fórmula de mudança de base. É isso aí. Até o próximo vídeo.