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Matemática EM: Álgebra 2
Curso: Matemática EM: Álgebra 2 > Unidade 4
Lição 6: Problemas envolvendo funções logarítmicasElaborando problemas com auxílio de logaritmos
O foco desse artigo é exemplificar como uma situação problema pode ser resolvida com auxílio dos logaritmos e suas propriedades.
O foco desse artigo é exemplificar como uma situação-problema pode ser resolvida com o auxílio dos logaritmos e suas propriedades.
Podemos usar os logaritmos em diversos contextos, tais como:
bullet na determinação do tempo que um medicamento permanece no organismo (Ciências da Natureza);
bullet no cálculo de tempo necessário para que uma determinada cultura de micro-organismos atinja uma determinada quantidade (Ciências da Natureza);
bullet no prazo de concentração que uma determinada substância (poluente) demora para esvair de um ambiente (ecossistema) (Ciências da Natureza);
bullet na taxa de inflação após um determinado período de tempo (Economia);
bullet na energia libertada por um abalo sísmico (terremoto) (Ciências da Natureza).
Tomemos como exemplo a reprodução da cultura de um determinado micro-organismo: suponha que uma certa cultura de uma bactéria se inicie com 150 micro-organismos que se reproduzem a uma taxa de 5, percent por minuto.
Deseja-se saber quanto tempo a cultura levará para atingir o patamar de 3, space, 000 micro-organismos.
Dados: start text, l, o, g, end text, 2, equals, 0, comma, 301 e start text, l, o, g, end text, 105, equals, 2, comma, 021.
Elaborando uma tabela que associa o tempo decorrido desde o início do experimento (em minutos) e o número de micro-organismos obtidos, temos:
Tempo desde o início do experimento (min) | Número de micro-organismos |
---|---|
0 | 150 |
1 | 150, times, 1, comma, 05, ¹ |
2 | 150, times, 1, comma, 05, ² |
3 | 150, times, 1, comma, 05, ³ |
4 | 150, times, 1, comma, 05, ⁴ |
Analisando os resultados obtidos na tabela, é possível realizar uma generalização com o intuito de obter a função que indica o número de bactérias f, left parenthesis, x, right parenthesis após um período de x minutos:
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 150, times, 1, comma, 05, start superscript, x, end superscript right arrow Função exponencial
Como desejamos determinar o tempo transcorrido até obtermos 3, space, 000 micro-organismos, temos que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, space, 000, ou seja:
Em outras palavras, desejamos obter o expoente que, ao elevarmos 1, comma, 05, obtemos 20. A operação matemática que determina esse tipo de situação é o logaritmo de 20 na base 1, comma, 05:
Realizando a mudança de base do logaritmo para a base decimal, temos:
Aplicando as propriedades dos logaritmos, é possível obter o valor dos logaritmos envolvidos na operação:
Consultando os valores aproximados de start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 2 e de start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 105, temos:
Dessa maneira, após aproximadamente 62s do início do experimento, o número de bactérias na cultura será cerca de 3, space, 000 micro-organismos.
Também é possível desenvolver o cálculo por estimativa na resolução desse problema. Como 2 se encontra entre 1 e 10, temos que start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 2 será um valor entre 0 e 1; como 105 se encontra entre 100 e 1000, temos que start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 105 será um valor entre 2 e 3.
Observação: Não era necessário acrescentar o 10 como base, pois para um logaritmo que não tem base se subentende que sua base é 10.
Nesse tipo de situação, é importante entender que pode ser necessário determinar o tempo envolvido numa função exponencial utilizando o logaritmo e suas propriedades para atingir seu objetivo.
Vejamos outro exemplo.
Considerando que x, equals, 2, start superscript, 1000, end superscript e sabendo que l, o, g, space, 2 é aproximadamente 0, comma, 301, determine o número de algarismos de x.
Partindo da informação, temos:
Pela definição de logaritmo, podemos escrever essa equação da seguinte forma:
Fazendo a mudança de base para base 10, temos:
Não há necessidade de escrever a base quando esta for 10. Então,
Pelo enunciado, start text, l, o, g, end text, space, 2, equals, 0, comma, 301; logo:
Resolvendo novamente o logaritmo:
Pelas propriedades das potências, toda potência de base 10 com expoente n positivo tem como resposta o número 1 seguindo de n zeros; logo:
10, start superscript, 301, end superscript tem 301 zeros mais o algarismo 1, portanto o número x tem 302 algarismos.
Esse exercício é bem diferente do anterior, mas mostra de outra forma a importância do uso dos logaritmos.
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