Elaborando problemas com auxílio de logaritmos

O foco desse artigo é exemplificar como uma situação-problema pode ser resolvida com o auxílio dos logaritmos e suas propriedades.

Podemos usar os logaritmos em diversos contextos, tais como:

$\bullet$bullet na determinação do tempo que um medicamento permanece no organismo (Ciências da Natureza);

$\bullet$bullet no cálculo de tempo necessário para que uma determinada cultura de micro-organismos atinja uma determinada quantidade (Ciências da Natureza);

$\bullet$bullet no prazo de concentração que uma determinada substância (poluente) demora para esvair de um ambiente (ecossistema) (Ciências da Natureza);

$\bullet$bullet na taxa de inflação após um determinado período de tempo (Economia);

$\bullet$bullet na energia libertada por um abalo sísmico (terremoto) (Ciências da Natureza).

Tomemos como exemplo a reprodução da cultura de um determinado micro-organismo: suponha que uma certa cultura de uma bactéria se inicie com $150$150 micro-organismos que se reproduzem a uma taxa de $5\%$5, percent por minuto.

Dados: $\text{log}2=0{,}301$start text, l, o, g, end text, 2, equals, 0, comma, 301 e $\text{log}105=2{,}021$start text, l, o, g, end text, 105, equals, 2, comma, 021.

Elaborando uma tabela que associa o tempo decorrido desde o início do experimento (em minutos) e o número de micro-organismos obtidos, temos:

Analisando os resultados obtidos na tabela, é possível realizar uma generalização com o intuito de obter a função que indica o número de bactérias $f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis após um período de $x$x minutos:

$\qquad\qquad \qquad\qquad f (x) = 150 \times 1{,}05^x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 150, times, 1, comma, 05, start superscript, x, end superscript $\rightarrow$right arrow Função exponencial

Como desejamos determinar o tempo transcorrido até obtermos $3\space000$3, space, 000 micro-organismos, temos que $f(x) = 3\space000$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, space, 000, ou seja:

Em outras palavras, desejamos obter o expoente que, ao elevarmos $1{,}05$1, comma, 05, obtemos $20$20. A operação matemática que determina esse tipo de situação é o logaritmo de $20$20 na base $1{,}05$1, comma, 05:

Realizando a mudança de base do logaritmo para a base decimal, temos:

Aplicando as propriedades dos logaritmos, é possível obter o valor dos logaritmos envolvidos na operação:

Consultando os valores aproximados de $\text{log} _{10}2$start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 2 e de $\text{log}_{10} 105$start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 105, temos:

Dessa maneira, após aproximadamente $62$62s do início do experimento, o número de bactérias na cultura será cerca de $3\space000$3, space, 000 micro-organismos.

Também é possível desenvolver o cálculo por estimativa na resolução desse problema. Como $2$2 se encontra entre $1$1 e $10$10, temos que $\text{log}_{10} 2$start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 2 será um valor entre $0$0 e $1$1; como $105$105 se encontra entre $100$100 e $1000$1000, temos que $\text{log} _{10}105$start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 105 será um valor entre $2$2 e $3$3.

Observação: Não era necessário acrescentar o $10$10 como base, pois para um logaritmo que não tem base se subentende que sua base é $10$10.

Nesse tipo de situação, é importante entender que pode ser necessário determinar o tempo envolvido numa função exponencial utilizando o logaritmo e suas propriedades para atingir seu objetivo.

Vejamos outro exemplo.

Partindo da informação, temos:

Pela definição de logaritmo, podemos escrever essa equação da seguinte forma:

Fazendo a mudança de base para base $10$10, temos:

Não há necessidade de escrever a base quando esta for $10$10. Então,

Pelo enunciado, $\text{log} \space 2 = 0{,}301$start text, l, o, g, end text, space, 2, equals, 0, comma, 301; logo:

Resolvendo novamente o logaritmo:

Pelas propriedades das potências, toda potência de base $10$10 com expoente $n$n positivo tem como resposta o número $1$1 seguindo de $n$n zeros; logo:

$10^{301}$10, start superscript, 301, end superscript tem $301$301 zeros mais o algarismo $1$1, portanto o número $x$x tem $302$302 algarismos.

Esse exercício é bem diferente do anterior, mas mostra de outra forma a importância do uso dos logaritmos.