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Elaborando problemas com auxílio de logaritmos

O foco desse artigo é exemplificar como uma situação problema pode ser resolvida com auxílio dos logaritmos e suas propriedades.
O foco desse artigo é exemplificar como uma situação-problema pode ser resolvida com o auxílio dos logaritmos e suas propriedades.
Podemos usar os logaritmos em diversos contextos, tais como:
na determinação do tempo que um medicamento permanece no organismo (Ciências da Natureza);
no cálculo de tempo necessário para que uma determinada cultura de micro-organismos atinja uma determinada quantidade (Ciências da Natureza);
no prazo de concentração que uma determinada substância (poluente) demora para esvair de um ambiente (ecossistema) (Ciências da Natureza);
na taxa de inflação após um determinado período de tempo (Economia);
na energia libertada por um abalo sísmico (terremoto) (Ciências da Natureza).
Tomemos como exemplo a reprodução da cultura de um determinado micro-organismo: suponha que uma certa cultura de uma bactéria se inicie com 150 micro-organismos que se reproduzem a uma taxa de 5% por minuto.
Deseja-se saber quanto tempo a cultura levará para atingir o patamar de 3 000 micro-organismos.
Dados: log2=0,301 e log105=2,021.
Elaborando uma tabela que associa o tempo decorrido desde o início do experimento (em minutos) e o número de micro-organismos obtidos, temos:
Tempo desde o início do experimento (min)Número de micro-organismos
0150
1150×1,05¹
2150×1,05²
3150×1,05³
4150×1,05
Analisando os resultados obtidos na tabela, é possível realizar uma generalização com o intuito de obter a função que indica o número de bactérias f(x) após um período de x minutos:
f(x)=150×1,05x Função exponencial
Como desejamos determinar o tempo transcorrido até obtermos 3 000 micro-organismos, temos que f(x)=3 000, ou seja:
3 000=150×1,05x
3 000150=1,05x
20=1,05x
Em outras palavras, desejamos obter o expoente que, ao elevarmos 1,05, obtemos 20. A operação matemática que determina esse tipo de situação é o logaritmo de 20 na base 1,05:
log1,0520=x
Realizando a mudança de base do logaritmo para a base decimal, temos:
log1,0520=log1020log101,05
Aplicando as propriedades dos logaritmos, é possível obter o valor dos logaritmos envolvidos na operação:
log1,0520=
log1020log101,05=
log10(2×100)log10(105100)=
log102+log1010log10105log10100=
log102+1log101052
Consultando os valores aproximados de log102 e de log10105, temos:
log1,0520=log102+1log1010520,301+12,0212=1,3010,021=62s
Dessa maneira, após aproximadamente 62s do início do experimento, o número de bactérias na cultura será cerca de 3 000 micro-organismos.
Também é possível desenvolver o cálculo por estimativa na resolução desse problema. Como 2 se encontra entre 1 e 10, temos que log102 será um valor entre 0 e 1; como 105 se encontra entre 100 e 1000, temos que log10105 será um valor entre 2 e 3.
Observação: Não era necessário acrescentar o 10 como base, pois para um logaritmo que não tem base se subentende que sua base é 10.
Nesse tipo de situação, é importante entender que pode ser necessário determinar o tempo envolvido numa função exponencial utilizando o logaritmo e suas propriedades para atingir seu objetivo.
Vejamos outro exemplo.
Considerando que x=21000 e sabendo que log 2 é aproximadamente 0,301, determine o número de algarismos de x.
Partindo da informação, temos:
x=21 000
Pela definição de logaritmo, podemos escrever essa equação da seguinte forma:
log2x=1 000
Fazendo a mudança de base para base 10, temos:
log2x=log10xlog102=logxlog2
Não há necessidade de escrever a base quando esta for 10. Então,
log xlog 2=1 000
Pelo enunciado, log 2=0,301; logo:
log x0,301=1 000
log x=301
Resolvendo novamente o logaritmo:
10301=x
Pelas propriedades das potências, toda potência de base 10 com expoente n positivo tem como resposta o número 1 seguindo de n zeros; logo:
10301 tem 301 zeros mais o algarismo 1, portanto o número x tem 302 algarismos.
Esse exercício é bem diferente do anterior, mas mostra de outra forma a importância do uso dos logaritmos.

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