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Elaborando problemas com auxílio de logaritmos

O foco desse artigo é exemplificar como uma situação problema pode ser resolvida com auxílio dos logaritmos e suas propriedades.
O foco desse artigo é exemplificar como uma situação-problema pode ser resolvida com o auxílio dos logaritmos e suas propriedades.
Podemos usar os logaritmos em diversos contextos, tais como:
bullet na determinação do tempo que um medicamento permanece no organismo (Ciências da Natureza);
bullet no cálculo de tempo necessário para que uma determinada cultura de micro-organismos atinja uma determinada quantidade (Ciências da Natureza);
bullet no prazo de concentração que uma determinada substância (poluente) demora para esvair de um ambiente (ecossistema) (Ciências da Natureza);
bullet na taxa de inflação após um determinado período de tempo (Economia);
bullet na energia libertada por um abalo sísmico (terremoto) (Ciências da Natureza).
Tomemos como exemplo a reprodução da cultura de um determinado micro-organismo: suponha que uma certa cultura de uma bactéria se inicie com 150 micro-organismos que se reproduzem a uma taxa de 5, percent por minuto.
Deseja-se saber quanto tempo a cultura levará para atingir o patamar de 3, space, 000 micro-organismos.
Dados: start text, l, o, g, end text, 2, equals, 0, comma, 301 e start text, l, o, g, end text, 105, equals, 2, comma, 021.
Elaborando uma tabela que associa o tempo decorrido desde o início do experimento (em minutos) e o número de micro-organismos obtidos, temos:
Tempo desde o início do experimento (min)Número de micro-organismos
0150
1150, times, 1, comma, 05, ¹
2150, times, 1, comma, 05, ²
3150, times, 1, comma, 05, ³
4150, times, 1, comma, 05, ⁴
Analisando os resultados obtidos na tabela, é possível realizar uma generalização com o intuito de obter a função que indica o número de bactérias f, left parenthesis, x, right parenthesis após um período de x minutos:
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 150, times, 1, comma, 05, start superscript, x, end superscript right arrow Função exponencial
Como desejamos determinar o tempo transcorrido até obtermos 3, space, 000 micro-organismos, temos que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, space, 000, ou seja:
3, space, 000, equals, 150, times, 1, comma, 05, start superscript, x, end superscript
start fraction, 3, space, 000, divided by, 150, end fraction, equals, 1, comma, 05, start superscript, x, end superscript
20, equals, 1, comma, 05, start superscript, x, end superscript
Em outras palavras, desejamos obter o expoente que, ao elevarmos 1, comma, 05, obtemos 20. A operação matemática que determina esse tipo de situação é o logaritmo de 20 na base 1, comma, 05:
start text, l, o, g, end text, start subscript, 1, comma, 05, end subscript, 20, equals, x
Realizando a mudança de base do logaritmo para a base decimal, temos:
start text, l, o, g, end text, start subscript, 1, comma, 05, end subscript, 20, equals, start fraction, start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 20, divided by, start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 1, comma, 05, end fraction
Aplicando as propriedades dos logaritmos, é possível obter o valor dos logaritmos envolvidos na operação:
start text, l, o, g, end text, start subscript, 1, comma, 05, end subscript, 20, equals
start fraction, start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 20, divided by, start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 1, comma, 05, end fraction, equals
start fraction, start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, left parenthesis, 2, times, 100, right parenthesis, divided by, start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, left parenthesis, start fraction, 105, divided by, 100, end fraction, right parenthesis, end fraction, equals
start fraction, start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 2, plus, l, o, g, start subscript, 10, end subscript, 10, divided by, start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 105, minus, start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 100, end fraction, equals
start fraction, start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 2, plus, 1, divided by, start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 105, minus, 2, end fraction
Consultando os valores aproximados de start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 2 e de start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 105, temos:
start text, l, o, g, end text, start subscript, 1, comma, 05, end subscript, 20, equals, start fraction, start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 2, plus, 1, divided by, start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 105, minus, 2, end fraction, approximately equals, start fraction, 0, comma, 301, plus, 1, divided by, 2, comma, 021, minus, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, comma, 301, divided by, 0, comma, 021, end fraction, equals, 62, s
Dessa maneira, após aproximadamente 62s do início do experimento, o número de bactérias na cultura será cerca de 3, space, 000 micro-organismos.
Também é possível desenvolver o cálculo por estimativa na resolução desse problema. Como 2 se encontra entre 1 e 10, temos que start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 2 será um valor entre 0 e 1; como 105 se encontra entre 100 e 1000, temos que start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 105 será um valor entre 2 e 3.
Observação: Não era necessário acrescentar o 10 como base, pois para um logaritmo que não tem base se subentende que sua base é 10.
Nesse tipo de situação, é importante entender que pode ser necessário determinar o tempo envolvido numa função exponencial utilizando o logaritmo e suas propriedades para atingir seu objetivo.
Vejamos outro exemplo.
Considerando que x, equals, 2, start superscript, 1000, end superscript e sabendo que l, o, g, space, 2 é aproximadamente 0, comma, 301, determine o número de algarismos de x.
Partindo da informação, temos:
x, equals, 2, start superscript, 1, space, 000, end superscript
Pela definição de logaritmo, podemos escrever essa equação da seguinte forma:
start text, l, o, g, end text, start subscript, 2, end subscript, x, equals, 1, space, 000
Fazendo a mudança de base para base 10, temos:
l, o, g, start subscript, 2, end subscript, x, equals, start fraction, start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, x, divided by, start text, l, o, g, end text, start subscript, 10, end subscript, 2, end fraction, equals, start fraction, start text, l, o, g, end text, x, divided by, start text, l, o, g, end text, 2, end fraction
Não há necessidade de escrever a base quando esta for 10. Então,
start fraction, start text, l, o, g, end text, space, x, divided by, start text, l, o, g, end text, space, 2, end fraction, equals, 1, space, 000
Pelo enunciado, start text, l, o, g, end text, space, 2, equals, 0, comma, 301; logo:
start fraction, start text, l, o, g, end text, space, x, divided by, 0, comma, 301, end fraction, equals, 1, space, 000
start text, l, o, g, end text, space, x, equals, 301
Resolvendo novamente o logaritmo:
10, start superscript, 301, end superscript, equals, x
Pelas propriedades das potências, toda potência de base 10 com expoente n positivo tem como resposta o número 1 seguindo de n zeros; logo:
10, start superscript, 301, end superscript tem 301 zeros mais o algarismo 1, portanto o número x tem 302 algarismos.
Esse exercício é bem diferente do anterior, mas mostra de outra forma a importância do uso dos logaritmos.

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