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Matemática EM: Álgebra 2

Curso: Matemática EM: Álgebra 2 > Unidade 4

Lição 3: Propriedades dos logaritmos
Matemática
Matemática EM: Álgebra 2
Função logarítmica
Propriedades dos logaritmos
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Introdução a propriedades dos logaritmos

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Aprenda sobre as propriedades de logaritmos e saiba como usá-las para reescrever expressões logarítmicas. Por exemplo, expanda log₂(3a).
A regra do produtolog, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
A regra do quocientelog, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
A regra da potêncialog, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, dot, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
(Essas propriedades se aplicam a quaisquer valores de M, N e b para os quais o logaritmo é definido, que é M, N, is greater than, 0 e 0, is less than, b, does not equal, 1.)

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Você deve saber o que são logaritmos. Caso você não saiba, confira nossa introdução aos logaritmos.

O que você vai aprender nessa lição

Logaritmos, assim como expoentes, têm muitas propriedades úteis que podem ser usadas para simplificar expressões logarítmicas e calcular equações logarítmicas. Esse artigo explora três dessas propriedades.
Vamos analisar cada propriedade individualmente.

A regra do produto: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Essa propriedade expressa que o logaritmo de um produto é a soma dos logs de seus fatores.
Podemos usar a regra do produto para reescrever expressões logarítmicas.

Exemplo: Expansão de logaritmos usando a regra do produto

Para o que queremos, expandir um logaritmo significa escrevê-lo como a soma de dois ou mais logaritmos.
Vamos expandir log, start base, 6, end base, left parenthesis, 5, y, right parenthesis.
Observe que os dois fatores do argumento do logaritmo são start color #11accd, 5, end color #11accd e start color #1fab54, y, end color #1fab54. Podemos aplicar diretamente a regra do produto para expandir o logaritmo.
log⁡6(5y)=log⁡6(5⋅y)=log⁡6(5)+log⁡6(y)Regra do produto\begin{aligned} \log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\cdot \greenD y) \\\\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y)&&{\gray{\text{Regra do produto}}} \end{aligned}

Exemplo: Compressão de logaritmos usando a regra do produto

Para o que queremos, comprimir uma soma de dois ou mais logaritmos significa escrevê-la como um único logaritmo.
Vamos condensar log, start base, 3, end base, left parenthesis, 10, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, x, right parenthesis.
Como os dois logaritmos têm a mesma base (base 3), podemos aplicar a regra do produto na direção inversa:
log⁡3(10)+log⁡3(x)=log⁡3(10⋅x)Regra do produto=log⁡3(10x)\begin{aligned} \log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\cdot \greenD x)&&{\gray{\text{Regra do produto}}} \\\\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

Uma observação importante

Ao comprimir expressões logarítmicas usando a regra do produto, as bases de todos os logaritmos na expressão devem ser iguais.
Por exemplo, não podemos usar a regra do produto para simplificar uma expressão como log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

Teste seu conhecimento

1) Expanda log, start base, 2, end base, left parenthesis, 3, a, right parenthesis.

2) Condense log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, y, right parenthesis, plus, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.

A regra do quociente: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Essa propriedade expressa que o log de um quociente é a diferença entre os logs do dividendo e do divisor.
Agora vamos usar a regra do quociente para reescrever expressões logarítmicas.

Exemplo: Expansão de logaritmos usando a regra do quociente

Vamos expandir log, start base, 7, end base, left parenthesis, start fraction, a, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, escrevendo-o como a diferença de dois logaritmos, aplicando a regra do quociente diretamente.
log⁡7(a2)=log⁡7(a)−log⁡7(2)Regra do quociente\begin{aligned} \log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &{\gray{\text{Regra do quociente}}} \end{aligned}

Exemplo: Compressão de logaritmos usando a regra do quociente

Vamos condensar log, start base, 4, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis, minus, log, start base, 4, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.
Como os dois logaritmos têm a mesma base (base 4), podemos aplicar a regra do quociente na direção inversa:
log⁡4(x3)−log⁡4(y)=log⁡4(x3y)Regra do quociente\begin{aligned} \log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&{\gray{\text{Regra do quociente}}} \end{aligned}

Uma observação importante

Quando comprimimos expressões logarítmicas usando a regra do quociente, as bases de todos os logaritmos na expressão devem ser iguais.
Por exemplo, não podemos usar a regra do quociente para simplificar algo como log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, minus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

Teste seu conhecimento

3) Expanda log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, c, end fraction, right parenthesis.

4) Condense log, left parenthesis, 3, z, right parenthesis, minus, log, left parenthesis, 8, right parenthesis.

A regra da potência: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Essa propriedade diz que o logaritmo de uma potência é o expoente vezes o logaritmo da base da potência.
Agora vamos usar a regra da potência para reescrever expressões logarítmicas.

Exemplo: Expansão de logaritmos usando a regra da potência

Para o que queremos nesta seção, expandir um único logaritmo significa escrevê-lo como um múltiplo de outro logaritmo.
Vamos usar a regra da potência para expandir log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis.
log⁡2(x3)=3⋅log⁡2(x)Regra da poteˆncia=3log⁡2(x)\begin{aligned} \log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\cdot \log_2(x)&&{\gray{\text{Regra da potência}}} \\\\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

Exemplo: Compressão de logaritmos usando a regra da potência

Para o que queremos nesta seção, condensar um múltiplo de um logaritmo significa escrevê-lo como outro logaritmo individual.
Vamos usar a regra da potência para condensar 4, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis,
Quando condensamos uma expressão logarítmica usando a regra da potência, transformamos quaisquer multiplicadores em potências.
4log⁡5(2)=log⁡5(24)Regra da poteˆncia=log⁡5(16)\begin{aligned} \maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)&&{\gray{\text{Regra da potência}}} \\\\ &=\log_5(16) \end{aligned}

Teste seu conhecimento

5) Expanda log, start base, 7, end base, left parenthesis, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis.

6) Condense 6, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis.

Desafios

Para resolver os problemas a seguir, você precisa aplicar várias propriedades em cada caso. Tente!
7) Qual das seguintes opções é equivalente a log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 2, x, cubed, divided by, 5, end fraction, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:

8) Qual das seguintes opções é equivalente a 3, log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 2, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:

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