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Matemática EM: Álgebra 2
Curso: Matemática EM: Álgebra 2 > Unidade 4
Lição 3: Propriedades dos logaritmos- Introdução às propriedades dos logaritmos (1 de 2)
- Introdução às propriedades dos logaritmos (2 de 2)
- Introdução a propriedades dos logaritmos
- Como usar a regra do produto de logaritmos
- Como usar a propriedade da potência do logaritmo
- Use as propriedades dos logaritmos
- Como usar as propriedades dos logaritmos: várias etapas
- Prova da propriedade do produto de logaritmos
- Prova das propriedades do quociente do logaritmo e da potência do logaritmo
- Justificação das propriedades de logaritmo
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Introdução a propriedades dos logaritmos
Aprenda sobre as propriedades de logaritmos e saiba como usá-las para reescrever expressões logarítmicas. Por exemplo, expanda log₂(3a).
A regra do produto | log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis | |
A regra do quociente | log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis | |
A regra da potência | log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, dot, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis |
(Essas propriedades se aplicam a quaisquer valores de M, N e b para os quais o logaritmo é definido, que é M, N, is greater than, 0 e 0, is less than, b, does not equal, 1.)
Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição
Você deve saber o que são logaritmos. Caso você não saiba, confira nossa introdução aos logaritmos.
O que você vai aprender nessa lição
Logaritmos, assim como expoentes, têm muitas propriedades úteis que podem ser usadas para simplificar expressões logarítmicas e calcular equações logarítmicas. Esse artigo explora três dessas propriedades.
Vamos analisar cada propriedade individualmente.
A regra do produto: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Essa propriedade expressa que o logaritmo de um produto é a soma dos logs de seus fatores.
Podemos usar a regra do produto para reescrever expressões logarítmicas.
Exemplo: Expansão de logaritmos usando a regra do produto
Para o que queremos, expandir um logaritmo significa escrevê-lo como a soma de dois ou mais logaritmos.
Vamos expandir log, start base, 6, end base, left parenthesis, 5, y, right parenthesis.
Observe que os dois fatores do argumento do logaritmo são start color #11accd, 5, end color #11accd e start color #1fab54, y, end color #1fab54. Podemos aplicar diretamente a regra do produto para expandir o logaritmo.
Exemplo: Compressão de logaritmos usando a regra do produto
Para o que queremos, comprimir uma soma de dois ou mais logaritmos significa escrevê-la como um único logaritmo.
Vamos condensar log, start base, 3, end base, left parenthesis, 10, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, x, right parenthesis.
Como os dois logaritmos têm a mesma base (base 3), podemos aplicar a regra do produto na direção inversa:
Uma observação importante
Ao comprimir expressões logarítmicas usando a regra do produto, as bases de todos os logaritmos na expressão devem ser iguais.
Por exemplo, não podemos usar a regra do produto para simplificar uma expressão como log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.
Teste seu conhecimento
A regra do quociente: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Essa propriedade expressa que o log de um quociente é a diferença entre os logs do dividendo e do divisor.
Agora vamos usar a regra do quociente para reescrever expressões logarítmicas.
Exemplo: Expansão de logaritmos usando a regra do quociente
Vamos expandir log, start base, 7, end base, left parenthesis, start fraction, a, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, escrevendo-o como a diferença de dois logaritmos, aplicando a regra do quociente diretamente.
Exemplo: Compressão de logaritmos usando a regra do quociente
Vamos condensar log, start base, 4, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis, minus, log, start base, 4, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.
Como os dois logaritmos têm a mesma base (base 4), podemos aplicar a regra do quociente na direção inversa:
Uma observação importante
Quando comprimimos expressões logarítmicas usando a regra do quociente, as bases de todos os logaritmos na expressão devem ser iguais.
Por exemplo, não podemos usar a regra do quociente para simplificar algo como log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, minus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.
Teste seu conhecimento
A regra da potência: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
Essa propriedade diz que o logaritmo de uma potência é o expoente vezes o logaritmo da base da potência.
Agora vamos usar a regra da potência para reescrever expressões logarítmicas.
Exemplo: Expansão de logaritmos usando a regra da potência
Para o que queremos nesta seção, expandir um único logaritmo significa escrevê-lo como um múltiplo de outro logaritmo.
Vamos usar a regra da potência para expandir log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis.
Exemplo: Compressão de logaritmos usando a regra da potência
Para o que queremos nesta seção, condensar um múltiplo de um logaritmo significa escrevê-lo como outro logaritmo individual.
Vamos usar a regra da potência para condensar 4, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis,
Quando condensamos uma expressão logarítmica usando a regra da potência, transformamos quaisquer multiplicadores em potências.
Teste seu conhecimento
Desafios
Para resolver os problemas a seguir, você precisa aplicar várias propriedades em cada caso. Tente!
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- Qual a diferença entre "ln" e "log"?(7 votos)
- ln é o log com base "e", que é um número irracional.(15 votos)
- Vocês pretendem botar exercícios de vestibulares ?(4 votos)
- João, eu faço bastante exercícios nesse site https://www.stoodi.com.br/exercicios
As aulas são pagas, porém os exercícios são gratuitos.(18 votos)
- log ao quadrado de 4, na base x - log16 na base x=-1(0 votos)