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Como usar a propriedade da potência do logaritmo

Neste vídeo, reescrevemos log₅(x³) como 3log₅(x). Criado por Sal Khan e Instituto de Tecnologia e Educação de Monterey.

Transcrição de vídeo

RKA - Aqui pedem para simplificar log na base 5 de x³. E, mais uma vez, vamos escrever de uma forma diferente. É discutível se será mais ou menos simples. E a propriedade logarítmica que acho que devemos usar, para este exemplo, é a propriedade que se eu pego o log na base "x", vou escolher mais algumas letras aqui. Log na base "x" de "y" à potência "z", que é o mesmo que "z" vezes log na base "x" de "y". Então, isso é uma propriedade do logaritmo. Se eu pego o logaritmo de uma dada base, de algo elevado à uma potência, poderia tirar essa potência na frente e multiplicar vezes o log de "y" na base "x", apenas neste caso. Então, aplicamos esta propriedade. E em um segundo, uma vez solucionado esse problema, falaremos sobre por que realmente faz muito sentido e vem direto das propriedades de expoentes. Mas se apenas aplicar aquilo, teremos log na base 5 de x³. Bom, esse é o expoente. Isso é o mesmo que "z". Vai ser a mesma coisa aqui, deixa eu usar outra cor. Esse 3 é a mesma coisa. Poderia colocar em frente, que é o mesmo que 3 vezes o logaritmo na base 5 de "x". E pronto. Isso é apenas outra forma de escrever usando essa propriedade. Dá para discutir que é talvez uma simplificação porque levou o expoente para fora do logaritmo e está multiplicando o logaritmo por esse número. Bom, agora com isso resolvido, vamos apenas pensar sobre o por quê, de fato, faz sentido. Digamos que a gente saiba que, eu vou escolher umas letrinhas arbitrariamente, e vamos dizer que sabemos que "a" elevado a "b" = "c". Se a gente sabe que está escrito como uma equação exponencial, se eu quisesse escrever a mesma verdade como uma equação logarítmica, diria logaritmo na base "a" de "c" é igual a 'b". A que potência terei que levar "a" para obter "c"? Elevo à potência "b". "a" elevado à potência "b" é igual a "c". Agora, vamos pegar os dois lados dessa equação e elevar à potência "d". Então, vou elevar. Pegar os dois lados dessa equação e elevar à potência "d". Em vez de fazer no lugar, vou reescrever aqui. Então, escrevi a equação original: "a" à potência "b" é igual a "c", que é apenas reescrever essa afirmação, mas vou pegar os dois lados disso à potência "d" e devo ser consistente. Vou usar letras maiúsculas. Então, deve ser um "B". Aqui deve ser um "B". Na realidade, vamos dizer que estou usando todas as letras minúsculas. Esse é um "c" minúsculo, então vou escrever assim: "a" elevado à potência "d", e elevar à potência "d", obviamente se essas duas são iguais uma à outra, se elevar os dois lados à mesma potência, a igualdade ainda irá permanecer. Agora, o que é interessante é que a gente poderia usar o que sabemos sobre propriedades dos expoentes. Veja, se tenho "a" elevado à "b" e elevo isso à potência "d", nossas propriedades dos expoentes dizem que é a mesma coisa isso é igual a "a" elevado a "bd". Isso é igual a "a" elevado a "bd", vou escrever de outra cor, já usei aquele verde. Isso aqui, que usamos propriedades de expoentes, é o mesmo que "a" à potência "bd". A gente tem "a" à potência "bd" que é igual a "c" à potência "d". Agora, essa equação exponencial, se escrevermos como uma equação logarítmica, diria que é log na base "a" de "c" à potência "d" é igual a "bd". É igual a "bd". A qual potência devo levar "a" para chegar a "c" à potência "d"? Para chegar aqui, tenho que levar à potência "bd". Mas o que sabemos sobre "b"? Já sabemos que "b" é essa coisa bem aqui. Então se substituir por "b", dá para reescrever como "db" e obter log na base "a" de "c" à potência "d" é igual à "bd" ou também dá para chamar de "db", se inverter a ordem. Então, é igual a "d" vezes "b". "b" é apenas log na base "a" de "c". Então, aí está. Acabamos de derivar a propriedade. Log na base "a" de "c" à potência "d" é o mesmo que "d" vezes base log na base "a" de "c" que aplicamos bem aqui.