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Matemática EM: Álgebra 2
Curso: Matemática EM: Álgebra 2 > Unidade 4
Lição 3: Propriedades dos logaritmos- Introdução às propriedades dos logaritmos (1 de 2)
- Introdução às propriedades dos logaritmos (2 de 2)
- Introdução a propriedades dos logaritmos
- Como usar a regra do produto de logaritmos
- Como usar a propriedade da potência do logaritmo
- Use as propriedades dos logaritmos
- Como usar as propriedades dos logaritmos: várias etapas
- Prova da propriedade do produto de logaritmos
- Prova das propriedades do quociente do logaritmo e da potência do logaritmo
- Justificação das propriedades de logaritmo
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Prova das propriedades do quociente do logaritmo e da potência do logaritmo
Neste vídeo, provamos a propriedade do quociente do logaritmo, log(a) - log(b) = log(a/b), e a propriedade da potência, k⋅log(a) = log(aᵏ). Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- Emvocê diz que Log (a/b) é igual a ( Log a - Log b), tendo em vista isso posso aplicar ( Log a / Log b ) sendo igual a ( Log a - Log b )? 7:14(1 voto)
- Sim meu amigo, ele mencionou esta propriedade logarítmica no inicio desta serie de vídeos sobre os logaritmos, mas você entendeu a proposta.(1 voto)
- Mas e se eu tivesse log de A na base x^2, por exemplo, como seria?(1 voto)
- log A (base x²) = y <=> (x²)^y = A ou seja, daria x^(2y) = A(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA - Vamos ver se conseguimos formular
outra propriedade logarítmica. Digamos que o "logₓ A"... é igual a "B",
e equivale a dizer que "xᴮ" é igual a "A". Parece correto, certo? Então, quero ver. O que acontece se multiplicar essa expressão por outra variável? Vamos chamá-la de "C". É, vou multiplicar os dois
lados desta equação por "C" (vou ficar trocando as cores para
deixar as coisas mais interessantes). Isso não é um "x" é um "C"
(talvez seja melhor fazer um ponto, né?), vezes "C". Assim, eu vou multiplicar
os dois lados desta equação por "C". Obtenho "C" vezes "logₓ A" é igual a...
(multiplicando os dois lados da equação)... é igual a "B" vezes "C".
Tudo bem até aqui. Acho que perceberam que eu não
fiz nada muito complicado, né? Mas vamos voltar. A gente disse que isto é igual a
isto, então vamos experimentar com alguma coisa. Vamos elevar este lado
à potência de "C". Vou elevar este lado à potência de "C". Esse é
um tipo de sinal de potência. E, quando você digita expoentes, é isso que usa: um sinal de potência.
Vou elevá-lo à potência de "C". Então, este lado é "(xᴮ)ᶜ = Aᶜ". Tudo o que fiz foi elevar os dois lados
desta equação à potência de "C". O que acontece quando elevamos algo a um expoente e elevamos toda essa coisa a um outro expoente? Esta é uma regra simples de potenciação: o expoente do expoente. Basta multiplicar esses dois expoentes. Isto implica apenas que "xᴮ ͨ = Aᶜ".
O que podemos fazer agora? Vamos colocar o logaritmo nos
dois lados. Ou vamos só escrever... não, vamos colocar o
logaritmo nos dois lados, vamos escrever como uma expressão logarítmica.
A gente sabe que "x" elevado a "BC" é igual a "A" elevado a "C", e equivale
a dizer que o "logₓ (Aᶜ)" é igual a "BC", certo? Porque tudo o que eu fiz foi reescrever
como uma expressão logarítmica. E eu acho que já perceberam que aconteceu
uma coisa interessante. Esse "BC", é claro, é igual a este "BC". Essa
expressão deve ser igual a essa expressão. Acho que temos outra propriedade
logarítmica, que se eu tiver algum tipo de coeficiente na frente do logaritmo,
onde estou multiplicando o logaritmo, vou ter "C" vezes "logₓ A" (mas é "C" vezes logaritmo
de "A" na base "x"), que é igual ao "logₓ (Aᶜ)". Dá para pegar este coeficiente e, em vez disso,
torná-lo um expoente do termo dentro do logaritmo. Esta é uma outra propriedade logarítmica.
Vamos, então, rever o que sabemos até agora. A gente sabe
que, se escrever... (eu vou usar as letras que
a gente usou até aqui, tá?) "C" vezes "logₓ A" é igual ao "logₓ (Aᶜ)". E sabemos (acabamos de aprender)
que o "logₓ A" mais o "logₓ B" é igual ao logaritmo
de "A vezes B" na base "x". Deixa eu fazer uma pergunta: o que acontece
se, em vez de ter um sinal positivo aqui, a gente colocasse
um sinal negativo? Talvez pudessem descobrir sozinhos,
mas poderia fazer a mesma comprovação que fizemos no começo. Só que
dessa vez, vamos fazer com o sinal negativo. Se eu disser que "logₓ A" é igual a "ℓ",
digamos que "logₓ B" é igual a "m", digamos que "logₓ (A/B)"
é igual a "n". Como podemos escrever todas
essas expressões como potências? Bom, "x" elevado a "ℓ"
é igual a "A" (vou trocar de cor, isso torna tudo mais interessante). Está dizendo apenas que "x"
elevado a "m" é igual a "B", e está dizendo que "x"
elevado a "n" é igual a "A/B". O que podemos fazer aqui?
Qual é uma outra forma de escrever "A/B"? É igual a escrever "x" elevado a "ℓ" (porque é igual
a "A") sobre "x" elevado a "m" (pois é igual a "B"). E, com base nas regras exponenciais, a gente
sabe que também poderia ser escrito como "x" elevado a "ℓ" vezes "x" elevado a "-m",
ou também é igual a "x" elevado a "ℓ - m".
O que sabemos? Sabemos que "x" elevado a "n"
é igual a "x" elevado a "ℓ - m". Portanto, os dois expoentes são iguais.
Vou colocar o sinal de igual aqui. Sabemos, então, que
"n" é igual a "ℓ - m". Qual é a outra
forma de escrever "n"? Eu vou fazer aqui em cima, porque acho
que chegamos a outra propriedade logarítmica. Qual é a outra forma de escrever "n"?
Fiz isto logo aqui. Esta é a outra forma de escrever "n". Muito bem, vamos lá.
O "logₓ (A/B)" é igual a "ℓ".
"ℓ" é isto aqui. "logₓ A" é igual a "ℓ". "logₓ A" menos "m".
Escrevi "m" aqui. "m" é igual a "logₓ B". Pronto. Provavelmente não precisava provar isto.
Provavelmente daria para testar usando números. Eu espero que, agora, estejam convencidos de que temos esta nova propriedade logarítmica aqui. Na verdade, eu tenho mais uma propriedade
logarítmica para mostrar para vocês, mas eu estou achando que não vai dar
tempo de fazer isso aqui, nesse vídeo, agora. Então, vamos deixar para um próximo vídeo. A
gente se vê lá. Espero que tenha achado isso útil. Fui.