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Prova da propriedade do produto de logaritmos

Neste vídeo, provamos a propriedade da soma de logaritmos, log(a) + log(b) = log(ab). Versão original criada por Sal Khan.

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  • Avatar orange juice squid orange style do usuário deividy wilian
    caraca ele fez isso tudo só pra provar o sentido da propriedade! tipo eu entendi mas, eu espero que isso não caia num enem e sisu e tal
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  • Avatar starky tree style do usuário Mateus Humberto de Souza
    Sabe que eu só consegui enxergar como funciona um Log nesse exemplo? Muito bom mesmo!

    Log seria apenas um expoente sendo utilizado de outra maneira.
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  • Avatar blobby green style do usuário Erica Ramos
    O valor da expressao log de 64 na base 2 menos log de 27 na base 3 mais log de 25 na base 5 é igual a:
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  • Avatar primosaur ultimate style do usuário Miguel Silva
    Em parece que A + log B na base x está tudo no expoente...
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  • Avatar duskpin ultimate style do usuário ds.antonioli
    Por que 10 * log x = x?
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  • Avatar piceratops sapling style do usuário Ítalo
    Desculpe-me, mas o Sal não é muito bom para demonstrar de maneira rápida e fácil.
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  • Avatar area 52 green style do usuário Arys
    favor para de engolir cuspi perto do miicrofone pleaseeeeeee, amei a aula.
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Transcrição de vídeo

RKA - Olá. Vamos trabalhar um pouco com as propriedades logarítmicas. Vamos rever rapidamente o que é um logaritmo. Se eu escrever "logx A" é igual a: "n", o que isso significa? Significa apenas que "x elevado a n" é igual a: "A". Eu acho que já sabem disso, não é? Aprendemos no vídeo sobre logaritmos. Então é muito importante perceber quando estão calculando uma expressão logarítmica, como "logx A", a resposta que obtém é um expoente. Na verdade, esse "n" é apenas um expoente e é igual a isto aqui. E daí, poderiam ter escrito isso assim: como esse "n" é igual a isto, poderiam ter escrito apenas que "logx A" é igual a: "A". Eu peguei esse termo "n" e substitui por esse termo e queria escrever dessa forma porque quero que tenham uma compreensão intuitiva da noção de que um logaritmo, quando calcula, na verdade, ele é um expoente. Vamos usar esta noção. E é daqui realmente que todas as propriedades logarítmicas derivam. Na verdade, eu quero chegar nas propriedades dos logaritmos brincando com tudo isso. E mais tarde, eu vou resumir, e então, comprovar. Quero demonstrar como as pessoas descobriram originalmente estas coisas. Vamos trocar de cor. É, eu acho que fica mais interessante. Digamos então que "x elevado a l" é igual a: "A". Se escrever como um logaritmo, dá para escrever que "logx A" é igual a "l", correto? Apenas reescrevi o que estava na linha superior. Vamos trocar de cor. E se eu dissesse que "x elevado a m" é igual a: "B"? É a mesma coisa, apenas troquei as letras, mas significa que "logx B" é igual a: "m", tá? Apenas fiz a mesma coisa que havia feito nesta linha, só troquei as letras. Vamos continuar e ver o que acontece. Usando outra cor. Eu tenho um número infinito de cores aqui. Nunca vou ficar sem cor. Digamos que eu tenha "x elevado a n", e daí, vocês me perguntam: aonde você quer chegar? Aguardem, vocês vão ver. É bem legal. "x elevado a n" é igual a: "A vezes B". "x elevado a n" é igual a: "A vezes B". E isto equivale a dizer que é igual a: "logx de A vezes B". O que podemos fazer com tudo isso? Vamos começar com esse aqui. "x elevado a n" é igual a: "A vezes B". Como a gente poderia reescrever isso? "A" é isto. "B" é isso. Certo? Vou reescrever. Sabemos que "x elevado a n" é igual a: "A". "A" é isto: "x elevado a l". E o que é "B"? Vezes B. "B" é: "x elevado a m". Eu não estou fazendo nenhuma coisa incrível aqui. Mas quanto é: "x elevado a l" vezes "x elevado a m"? A gente sabe com base na teoria da potenciação que quando multiplicamos duas expressões que tem a mesma base e expoentes diferentes, só precisamos somar os expoentes. Então é igual a... (uma cor neutra) Quando tem a mesma base e estão multiplicando os números, só precisam somar os expoentes. E isto é igual a: "x elevado a (eu vou ficar trocando de cor porque eu acho que é melhor) (l+m)" (e dá muito trabalho ficar trocando as cores, mas vocês estão entendendo, né?) "x elevado a n" é igual a: "x elevado a (l+m)". Vou colocar o "x" aqui (queria ter usado verde). "x elevado a (l+m)". E agora? A gente sabe que "x elevado a n" é igual a "x elevado a (l+m)". Temos a mesma base, esses expoentes devem ser iguais, então sabemos que "n" é igual a "l+m". E para que serve isso? Estava meio que brincando com os logaritmos. Eu estou chegando a algum lugar. Eu acho que você vai ver que sim. Qual é outra forma de escrever "n"? Dissemos que "x elevado a n" é igual a: "A vezes B" (opa, pulei uma etapa aqui). Então isso significa (voltando para cá): "x elevado a n" é igual a: "A vezes B", que significa que "logx de (A vezes B)" é igual a: "n". Vocês sabiam disso, eu não. Espero que não achem que eu estou voltando ou qualquer coisa assim. Eu só esqueci de escrever isso da primeira vez. Enfim, enquanto a "n", qual é outra forma de escrever "n"? Outra forma de escrever "n" está logo aqui: "logx de (A vezes B)". Agora sabemos que se apenas substituir "n" por isso, a gente vai ter: "logx de (A vezes B). E isto é igual a "l" Outra forma de escrever "l" está aqui em cima. Ele é igual a: "logx de (A+m)". Quem é "m"? "m" está logo aqui: "logx de B". E tem agora nossa primeira propriedade logarítmica. O "logx de (A vezes B)" é igual a: "logx de A" + "logx de B". Espero que isso prove o que acabei de dizer, e se quiser saber intuitivamente porque funciona, é que logaritmos não são nada além de expoentes, e com isso chegamos ao final desse vídeo. No próximo vídeo, eu vou provar outra propriedade logarítmica. Até lá.