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Como usar a regra do produto de logaritmos

Neste vídeo, reescrevemos log₃(27x) como log₃(27)+log_3(x), que é simplificado como 3+log₃(x). Criado por Sal Khan e Instituto de Tecnologia e Educação de Monterey.

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  • Avatar hopper cool style do usuário Lucas Gomes
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Transcrição de vídeo

RKA - Aqui pedem para simplificar log na base 3 de 27x. E francamente é bem simples, mas estou supondo que querem que a gente use propriedades logarítmicas e manipule de alguma forma. Talvez realmente um pouco mais complicado. Então, vamos tentar fazer o melhor. A propriedade de logaritmo que se sobressai, a que potência devemos levar 3 para chegar a 27x? 27x é o mesmo que 27 vezes "x". A propriedade de logaritmo que parece que querem que a gente use é log na base, deixa eu anotar, log na base "b" de "a" × "c", vou anotar assim. Log na base "b" de "a" × "c". Isso é igual a log na base "b" de "a" + log na base "b" de "c". E vem direto das propriedades expoentes, que se você tem dois expoentes, dois com a mesma base, pode somar os expoentes. Vou deixar um pouco mais claro porque essa parte é um pouco confusa e o mais importante nesse exemplo é saber como aplicar. Mas é ainda melhor se ter uma noção de tudo. Digamos que log, log na base "b" de "a" × "c" = "x". Então, essa coisa bem aqui é igual a "x". Digamos que essa aqui é igual a "y". Log na base "b" de "a" é igual a "y". E vamos dizer que essa coisa aqui, essa coisa aqui é igual a "z". Log na base "b" de "c" é igual a "z". Agora a gente sabe que isso, ou isto aqui, diz que "b" à potência "x" = "a" × "c". E isso diz que "b" elevado a "y" = "a". E isto que "b" à potência "z" = "c". Estou escrevendo a mesma verdade. Estou escrevendo como uma função exponencial ou uma equação exponencial, em vez de uma equação logarítmica. Essa é a mesma afirmação, ou a mesma verdade, dita de outra forma. Essa é a mesma verdade dita de outra forma. Se sabemos que "a" é igual a isto, é igual a "b" à potência "y", e "c" é igual a "b" à potência "z", dá para escrever que "b" elevado a "x" é igual a "b" elevado a "y". E "b" elevado a "y" é igual a "a", já sabemos disso. Multiplicado por "b" elevado a "z". E sabemos de nossas propriedades exponenciais que se elevamos "b" a "y" vezes "b" elevado a "z" é o mesmo que "b" elevado a, vou fazer de uma cor neutra, "b" elevado a "y" + "z", isso vem diretamente de nossas propriedades dos expoentes. Então, se "b" elevado a "y" + "z" é o mesmo que "b" elevado a "x", a gente sabe que "x" deve ser igual a "y" + "z". Se está confuso, relaxa. Não se preocupa. O importante, ou pelo menos o mais importante, é saber como aplicá-lo. E depois pode pensar um pouco mais a respeito e até tentar fazer com alguns números. Você tem apenas que perceber que logaritmos são apenas expoentes. Sei que quando as pessoas falam, a princípio, você pensa o quê isso quer dizer. Mas quando você analisa um logaritmo está procurando um expoente ao qual teria que levar "b" para chegar a "a" × "c". Mas vamos simplesmente aplicar essa propriedade aqui. Se aplicar esta, sabemos que log na base 3 de 27 × "x", vou escrever que é igual a log na base 3 de 27 mais log na base 3 de "x". E podemos calcular. Isso nos diz: "a qual potência tenho que elevar 3 para chegar a 27?" Você poderia fazer assim: 3 elevado a qual número é igual a 27? 3 elevado à terceira potência é igual 27. 3 × 3 = 9. 9 × 3 = 27. Então, é igual a 3. Se fosse simplificar, ou imagino que nem chamaria de simplificar mas apenas chamaria de expandir ou usar essa propriedade pois, agora tem dois termos sendo que iniciamos com um termo. Realmente, se iniciamos, diria que esta é uma versão mais simples. Mas, quando reescrevemos o primeiro termo se torna 3 e fica com + log de "x" na base 3. Essa é apenas uma forma alternativa de escrever essa afirmação original. Log na base 3 de 27x. Mais uma vez, não está claro que é mais simples do que esse daqui. É apenas outra forma de escrever usando propriedades de logaritmo.