Escala logarítmica (com Vi Hart)

RKA - [Olívia] Tudo bem? Eu sou Olívia e hoje estou aqui com o Rômulo. [Rômulo] Olá! [Olívia] E nós estamos falando sobre como nós pensamos em relação aos números e qual é o jeito mais natural para pensar sobre eles no nosso cotidiano. [Rômulo] E a Olívia disse que iria me testar bem agora. [Olívia] Isso mesmo, mas eu precisaria da caneta emprestada. Você poderia...? [Rômulo] Sim, claro. [Olívia] Eba! Vou usar essa caneta oficial. [Rômulo] Está fora da tela, Olívia. Você precisa de treinamento. [Olívia] Eu estou treinando agora. [Rômulo] Isso está parecendo um pedaço de pizza. [Olívia] Pizza? Isso é um triângulo. [Rômulo] Triângulo? Onde está o seu teste, Olívia? Você está se distraindo aí? [Olívia] Ok, me desculpe. Aqui está uma linha tradicional e comum, uma linha numérica. Eu vou começar do 1 e vou até o 1.000.000. Eu vou te dar caneta agora e perguntar a você: onde está o 1.000? [Rômulo] Onde está o 1.000? Onde está o 1.000? Eu sei, eu sei o que você está fazendo. [Olívia] Você tem que pensar nisso logicamente. [Rômulo] Sim, sim. Eu vou te dizer o que se passou no meu cérebro. Minha primeira reação foi colocar o 1.000 bem aqui. Isso foi o que eu fui levado a fazer; foi assim que o meu cérebro interpretou isso (minha mente altamente analítica). [Olívia] Será que essa resposta realmente está correta? Será que realmente o 1.000 está aqui em uma escala que vai de 1 até 1.000.000. Bem, 1.000.000 dividido por 1.000 [Rômulo] é 1.000, [Olívia e Rômulo] mas você quer 1.000! [Rômulo] Então, não pode ser isso. Eu estava desenhando isso no meio do caminho. Mas, não; 1.000... 1.000 estaria em um lugar como aqui. Você mal pode ver a diferença entre o 1 e o 1.000. [Olívia] Sim, você mal conseguiria ver a diferença de 1.000 como essa. [Rômulo] Isso é fascinante! E ao que isso está relacionado? O que nós estamos fazendo aqui? [Olívia] Sim, na verdade, 1.000 está muito mais perto do 1 do que nós imaginávamos. E, na verdade, nós fazemos isso o tempo todo. Nós não estamos acostumados a pensar na diferença que existe entre 1.000 e 1.000.000; mas quando nós estamos pensando sobre a diferença entre 1 e 2, ou na diferença entre 2 e 3, ou até mesmo na diferença entre 1 e 10, então nós dizemos: uau, uma diferença entre 1 e 2 é duas vezes o valor de 1. [Rômulo] Sim, é o dobro de 1; você tem razão. [Olívia] E a diferença entre 9 e 10 é a mesma distância quando você está olhando na escala usual, ou seja, é 1. [Rômulo] Verdade, verdade. [Olívia] Mas quando você está pensando sobre coisas da vida real, bem, a diferença entre 9 e 10 pode não ser tão grande ou tão pequena em uma situação cotidiana. [Rômulo] Sim, mas uma relação entre 1 e 2 pode ser, pois o 2 é o dobro. [Olívia] Sim, sim. [Rômulo] Certo. [Olívia] Então, agora, nós temos que pensar em uma escala logarítmica, concorda? [Rômulo] Ah, sim, a velha e boa escala logarítmica. Então, o que você está dizendo, é que nós, seres humanos, apesar de tudo o que nos é ensinado sobre escalas, ainda queremos dizer que esse é o 1, esse é o 10, esse é o 20... o 30... e assim por diante? Isso é engraçado porque o que nós mais fazemos em matemática é esboçar linhas e escalas como essas. [Olívia] Sim, geralmente, é assim mesmo que nós desenhamos no papel. [Rômulo] Sim. [Olívia] Mas, geralmente, não faz sentido na maneira pela qual pensamos nas coisas, porque a diferença entre 5.000.000.000.000 e 5.000.000.000.010 é... (?) [Rômulo] Nenhuma. [Olívia] É, nenhuma. Enquanto a diferença entre 1 e 10 é enorme. [Rômulo] Verdade, verdade. Você está certa! Essa é a razão pela qual, quase sempre, os múltiplos são mais importantes do que a distância absoluta entre os números. [Olívia] Sim. [Rômulo] Isso é o que mostra as escalas logarítmicas. [Olívia] Isso mesmo. E esse é o motivo de vermos as escalas logarítmicas em tantas situações da vida real. Assim como nas escalas musicais do piano, por exemplo. Na verdade, isso é uma escala logarítmica, então vamos pegar a nossa figura do piano. [Rômulo] E, veja, temos um piano. [Olívia] Ok, ok. Posso pegar a caneta? [Rômulo] Ah, claro! [Olívia] Ok. Vamos ver como faríamos isso. Aqui nós temos nosso "C" e aqui nós temos nosso "D". E existe uma distância entre eles. E aqui nós temos nosso "C"; também o nosso "D". E, quando nós ouvimos essas notas, nós pensamos: ok, essas notas estão distante por uma posição, tanto aqui quanto aqui. Elas possuem a mesma distância entre si. [Rômulo] Sim. [Olívia] Mas, se você olhar para as frequências, a distância não é a mesma. Talvez esse tenha sido um mau exemplo porque eu não conheço a frequência de "D", mas... [Rômulo] mas poderíamos... [Olívia] bem, eu vou dar um exemplo. Eu vou colocar alguns números que talvez sejam a diferença entre essas oitavas e essas oitavas aqui. Se isso é "C"... [Rômulo] Chame de "X". [Olívia] "X"... ok... "X" [Rômulo] Tanto faz, a frequência é... [Olívia] Verdade! [Rômulo] Diga que é 440 quilohertz. [Olívia] Eu não sei se é isso. Para "A" é 440; para "C" eu não sei... vamos dizer que seja 300. [Rômulo] Muito bem. [Olívia] Então, se isso é 300, ou "300X" ou simplesmente "X", então essa frequência seria 600. [Rômulo] 600 é o dobro. [Olívia] Isso, dobra quando você aumenta uma oitava, e isso faria com que esse "C" subisse para 1.200. Nós estamos usando uma escala meio estranha. A diferença daqui é de 300 e a diferença daqui é de 600, mas, quando nós estamos ouvindo as oitavas, nós não sentimos a diferença entre essas notas. E, nesse caso, não deveria valer a mesma coisa, pois aqui temos a metade da frequência daqui. A distância entre essas oitavas deveria ser uma oitava, certo? [Rômulo] Perfeito! Logo, fundamentalmente, a maneira pela qual percebemos o som é logarítmica. [Olíva] É isso mesmo! É fundamentalmente logarítmica! Você tem todas as notas de um piano em sequência. E você tem a mesma proporção para uma nota que esteja numa posição à direita de outra, em vez de ter, por exemplo, uma chave para "C" aqui, outra chave aqui, e então a próxima seria... [Rômulo] Duas vezes mais longe. Os fabricantes de piano teriam que fabricar em escala logarítmica; eles querendo ou não. [Olívia] Sim, até porque pensamos em escala logarítmica [Rômulo] Eles talvez pudessem ter feito isso em uma escala linear e as escalas poderão ficar maiores e maiores; com mais teclas conforme seguissem para a direita. [Olívia] Ou, talvez, teclas mais largas em vez de mais teclas. [Rômulo] Algo assim seria um piano em escala linear. [Olívia] Isso seria maravilhoso, mas não é dessa forma que escutamos os sons. [Rômulo] Verdade. Talvez até fosse mais difícil tocar um piano dessa forma. E não é só quanto à percepção do som, mas a questão da amplitude das frequências, porque nós percebemos a amplitude das frequências em uma escala decibel, que é uma escala logarítmica. [Olívia] Sim, sim. Há muitas maneiras naturais e intuitivas para escalas logarítmicas. Então, isso acontece quando nós estamos olhando para quão alto o som é. Essa é a diferença em como eu estou falando agora e se eu começasse a falar um pouco mais alto. E nós sentimos a distância dessa forma também quando nós falamos mais baixo. [Rômulo] Sim, sim. [Olívia] É difícil explicar isso. [Rômulo] Nós realmente percebemos isso. [Olíva] É difícil explicar, mas é assim que funciona. [Rômulo] Os logaritmos podem dizer quão alto algum som é, [Olívia] mas vamos deixar isso de lado. [Rômulo] Nós não queremos assustar as pessoas falando mais e mais e mais alto. [Olívia] Eu posso gritar bem alto se você quiser. Eu acredito que seria demais! [Rômulo] Verdade. Isso aqui é fascinante; principalmente, esse pequeno jogo aqui. Eu vou começar a propor isso às pessoas na próxima festa que eu for. [Olívia] Isso é legal quando nós estamos olhando para uma diferença entre 1 milhão de reais e 10 milhões de reais e queremos saber o que de fato isso representa, por exemplo. [Rômulo] Sim. [Olívia] É bom lembrar que o mundo segue várias regras como essa. [Rômulo] Verdade mesmo. Muito legal. Espero que vocês tenham gostado desse vídeo [Olívia] e até breve!