Lei de Benford (com Vi Hart, 1 de 2)

RKA3MP - Vocês já ouviram falar na Lei de Benford? A Lei de Benford é uma propriedade muito interessante dos números, que basicamente diz que a probabilidade de você pegar qualquer número que você quiser e do primeiro dígito desse número ser 1 é maior do que ser 2, que é maior do que ser 3, que é maior do que ser 4 e assim vai. Então, essa lei também é conhecida como a lei do primeiro dígito e, se a gente olhar para esse gráfico aqui, a gente pode ver basicamente isso que eu acabei de dizer, só que representado da maneira correta, representado da maneira gráfica com as probabilidades corretas. Então, se a gente pegar por exemplo aqui o primeiro número, o 1, a gente quer saber qual a probabilidade de qualquer número que eu pegar aleatoriamente, em uma sequência ou em qualquer base ou qualquer escala logarítmica, a probabilidade do primeiro dígito desse número ser 1 vai ser de aproximadamente 30,1%. Se eu pegar o primeiro dígito 2, a probabilidade vai ser de aproximadamente 17,6%. E, agora, se eu pegar qualquer número notoriamente e quiser que o primeiro dígito dele seja 3, a probabilidade disso acontecer é de aproximadamente 12,5%. Então, a Lei de Benford ela não é uma coisa tão nova, digamos, ela foi descrita pela primeira vez, matematicamente, em 1938, por esse cara aqui, que é o físico Frank Benford, deixa eu botar o nome dele aqui, Benford. Benford. E esse cara aqui em cima, vocês podem se perguntar, esse daqui é Simon Newcomb. Newcomb. Esse daqui foi o primeiro, esse cara daqui, Simon Newcomb, foi a primeira pessoa a dizer que essa lei existia, propô-la, mas quem fez todo o formalismo matemático foi esse cara aqui Frank Benford. E vocês podem se perguntar: "Tá. E qual que é a utilidade disso no meu mundo? Existe alguma utilidade prática disso, a Lei de Benford pode ser utilizada para alguma coisa?". E, então, eu posso responder para vocês que sim, ela tem uma incrível utilidade. Vou botar mais para baixo aqui, para vocês verem esses dois gráficos. Eu quero vocês prestem atenção nesse gráfico daqui. Isso daqui é o gráfico do número de habitantes de um país, a população de um país, e aqui está a Lei de Benford, aqui está a curva da Lei de Benford, deixa eu fazer de outra cor para ficar mais destacado ainda. Aqui está a curva da Lei de Benford. Eu vou tentar ligar os pontos, eu vou esperar que fique reto, mas não. Nossa, não consigo fazer isso aqui de uma maneira reta. Calma aí. Deixa eu tentar fazer isso aqui assim, acho que ficou melhor para ver. Essa curva em azul é a curva da previsão da Lei de Benford e, se a gente for ver aqui o número de países que têm como número total de habitantes um número com algarismo que começa com 1 é mais de 25% do total de países. E, se a gente for olhar o número 2, mais de 15%. Então, a gente começa a ver aquela mesma probabilidade ali de cima de 30,1%, 17,6, 12,5, e a gente começa a perceber mais ou menos isso aqui. A gente pode ver que aqui, por exemplo, faltou um pouco aqui, digamos que, para ele chegar na probabilidade que a gente esperava. Só que isso daqui, se a gente pegasse mais países, mais, no caso, mais informação para colocar nessa tabela, a tendência é cada vez mais que essa tabela aqui fique parecida com essa tabela aqui de cima. Quanto mais países eu pegar, mais os dados vão ficar nessa forma daqui e, além disso, a gente pode pegar também o número de habitantes de um país ou a gente pode pegar também as constantes físicas. Aqui, nesse gráfico aqui, eu tenho a Lei de Benford, o gráfico da curva da Lei de Benford em vermelho, e tenho a curva com um número, com o primeiro dígito das constantes físicas, só que aqui eu não consegui achar informação como é que foram feitas essas... quais constantes foram levadas em conta, porque existem constantes, por exemplo, Constante de Planck ou Constante de Boltzmann e várias outras constantes que podem também diferir na unidade ou podem diferir no valor. Mas, enfim, se a gente for olhar aqui o gráfico também está incrivelmente condizente com uma curva da Lei de Benford. Então, outra coisa interessante é que, além disso, a Lei de Benford também pode ser utilizada para saber a probabilidade de uma conta de energia elétrica ser um determinado valor, ou existem até bancos, existem histórias de bancos que utilizam alguns algoritmos baseados na Lei de Benford para verificar fraudes nas transações ou sonegações de impostos. Então, a Lei de Benford é uma maneira muito legal de prever um comportamento de um número, a probabilidade de ele acontecer, e realmente tem muita utilidade. Então, eu faço aqui um desafio para vocês, eu quero que vocês tentem imaginar o porquê de isso acontecer, o porquê de a Lei de Benford existir. E, no próximo vídeo, eu vou tentar dar uma explicação de qual a maneira mais intuitiva de se achar uma explicação do porquê que ela, do porque ela existe e é condizente com a realidade. Então, o vídeo vai ficar por aqui e até o próximo.