Situações nas quais ocorrem funções definidas por partes

Neste artigo, vamos estudar as funções definidas por partes ou funções com mais de uma lei de formação.

Em nossa vida, existem diversos exemplos desse tipo de função:

$\bullet$bullet as diferentes faixas tributárias cobradas pelo Imposto de Renda de Pessoas Físicas/Jurídicas (Economia);

$\bullet$bullet as diferentes faixas de cobrança para uma residência de acordo com seu consumo de energia elétrica ou água (Economia);

$\bullet$bullet a variação da temperatura de um indivíduo ao longo de um dia (Ciências da Natureza);

$\bullet$bullet a variação do índice pluviométrico de uma cidade ao longo de uma semana (Ciências da Natureza).

Tomemos como exemplo a variação da temperatura corporal de um indivíduo com febre, antes e depois de tomar um medicamento (antitérmico).

Em condições normais, a temperatura corporal do ser humano varia de $36\spaceºC$36, space, º, C a $37{,}5\spaceºC$37, comma, 5, space, º, C.

Suponha que um indivíduo adoeceu, apresentando uma temperatura corporal de $40\spaceºC$40, space, º, C . Após tomar um antitérmico, sua temperatura manteve-se constante durante $20$20 minutos, baixando ao patamar anterior.

Como podemos representar a variação da temperatura corporal do indivíduo aferida desde o início da medição?

A maneira mais usual seria utilizando uma tabela para cada instante da aferição. Nesse caso, teríamos algo do tipo:

Outra maneira de representar a variação da temperatura corporal do indivíduo seria por meio de um gráfico, como pode ser observado na figura a seguir.

Será possível expressar algebricamente tal variação de temperatura de maneira única?

Em quais intervalos de tempo a temperatura aumentou?

Em quais intervalos ela diminuiu ?

Houve períodos em que ela se manteve constante?

Vamos separar os valores por meio de uma lista:

$\bullet$bullet de $0$0 a $10$10 minutos, a temperatura mantém-se constante em $37\spaceºC$37, space, º, C;

$\bullet$bulletde $10$10 a $20$20 minutos, a temperatura aumenta de $37º C$37, º, C para $40\spaceºC$40, space, º, C;

$\bullet$bulletde $20$20 a $40$40 minutos, a temperatura permanece constante em $40\spaceºC$40, space, º, C;

$\bullet$bulletde $40$40 a $60$60 minutos, a temperatura diminui de $40º C$40, º, C para $37\spaceºC$37, space, º, C;

$\bullet$bulleta partir de $60$60 minutos, a temperatura permanece constante em $37\spaceºC$37, space, º, C.

Como em cada intervalo de tempo ocorreu uma variação de temperatura diferente da outra, precisaremos de mais de uma sentença algébrica para expressar essa função.

Uma sugestão, nesse caso, é usar dois pontos para obter a equação da reta suporte que contém tais segmentos de reta.

Em nosso exemplo, temos:

Segmento $\overline{FG}$start overline, F, G, end overline

$F= (10,37)$F, equals, left parenthesis, 10, comma, 37, right parenthesis e $G =(20,40)$G, equals, left parenthesis, 20, comma, 40, right parenthesis
$(y - y_0)=m(x - x_0)$left parenthesis, y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, m, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
$(40-37)=m(20-10)$left parenthesis, 40, minus, 37, right parenthesis, equals, m, left parenthesis, 20, minus, 10, right parenthesis
$m = \dfrac{3}{10}$m, equals, start fraction, 3, divided by, 10, end fraction

Segmento $\overline{HI}$start overline, H, I, end overline

$H= (40,40)$H, equals, left parenthesis, 40, comma, 40, right parenthesis e $I =(60,37)$I, equals, left parenthesis, 60, comma, 37, right parenthesis
$(y - y_0)=m(x - x_0)$left parenthesis, y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, m, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
$(37-40)=m(60-40)$left parenthesis, 37, minus, 40, right parenthesis, equals, m, left parenthesis, 60, minus, 40, right parenthesis
$m = -\dfrac{3}{20}$m, equals, minus, start fraction, 3, divided by, 20, end fraction

Reunindo todas as informações para cada intervalo, podemos compor a função que representa a variação da temperatura corporal do indivíduo $f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis com o passar do tempo $x$x.

Este foi um exemplo prático de função definida por partes. Algumas funções são funções constantes, e outras, funções afins.

Um restaurante self-service tem a seguinte tabela de preços:

$\bullet$bullet Crianças até $2$2 anos não pagam.

$\bullet$bullet Crianças acima de $2$2 anos e abaixo de $12$12 anos pagam $\text{R}\$\space15{,}00$start text, R, end text, dollar sign, space, 15, comma, 00.

$\bullet$bullet A partir de $12$12 anos, todos pagam $\text{R}\$\space 35{,}00$start text, R, end text, dollar sign, space, 35, comma, 00.

Analisando essas informações, podemos perceber que se trata de $3$3 funções constantes.

Vamos colocar esses valores em um gráfico:

Podemos perceber os saltos nessa função, diferentemente da função anterior.

Montando a lei de formação dessa função, temos:

Esse função é mais uma função definida por partes. São $3$3 funções constantes dentro de uma.

Mas, até agora, mostramos apenas funções de $1º$1, º grau. Essas funções definidas por partes só podem ser retas? A resposta é: NÃO!

Vamos observar a lei de formação e o gráfico de duas funções que contêm uma função do $2º$2, º grau:

Essa primeira função não contém salto. Ela é contínua em todo o seu domínio.

Já esta segunda função contém um salto em $x =-1$x, equals, minus, 1. Ela é descontínua nesse ponto.

Nesse último exemplo, colocamos funções de $1º$1, º e $2º$2, º graus juntas. As funções definidas por partes podem ser exponenciais, logarítmicas, afins, parabólicas, de $3º$3, º grau, entre outras. Elas são úteis em diversos campos das Ciências da Natureza, da Economia e outros ramos do nosso dia a dia.