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Situações nas quais ocorrem funções definidas por partes

O foco desse artigo é exemplificar como uma situação problema pode ser representada por uma função definida por partes.
Neste artigo, vamos estudar as funções definidas por partes ou funções com mais de uma lei de formação.
Em nossa vida, existem diversos exemplos desse tipo de função:
as diferentes faixas tributárias cobradas pelo Imposto de Renda de Pessoas Físicas/Jurídicas (Economia);
as diferentes faixas de cobrança para uma residência de acordo com seu consumo de energia elétrica ou água (Economia);
a variação da temperatura de um indivíduo ao longo de um dia (Ciências da Natureza);
a variação do índice pluviométrico de uma cidade ao longo de uma semana (Ciências da Natureza).
Exemplo 1
Tomemos como exemplo a variação da temperatura corporal de um indivíduo com febre, antes e depois de tomar um medicamento (antitérmico).
Em condições normais, a temperatura corporal do ser humano varia de 36 ºC a 37,5 ºC.
Suponha que um indivíduo adoeceu, apresentando uma temperatura corporal de 40 ºC . Após tomar um antitérmico, sua temperatura manteve-se constante durante 20 minutos, baixando ao patamar anterior.
Como podemos representar a variação da temperatura corporal do indivíduo aferida desde o início da medição?
A maneira mais usual seria utilizando uma tabela para cada instante da aferição. Nesse caso, teríamos algo do tipo:
Variação da temperatura corporal de um indivíduo
Instante da medição (m)Temperatura (°C)
037
1037
1539
2040
2540
3040
3540
4040
4539
5038,5
5538
6037
6537
Outra maneira de representar a variação da temperatura corporal do indivíduo seria por meio de um gráfico, como pode ser observado na figura a seguir.
Gráfico 1: Variação da temperatura corporal em um determinado intervalo de tempo.
Será possível expressar algebricamente tal variação de temperatura de maneira única?
Em quais intervalos de tempo a temperatura aumentou?
Em quais intervalos ela diminuiu ?
Houve períodos em que ela se manteve constante?
Vamos separar os valores por meio de uma lista:
de 0 a 10 minutos, a temperatura mantém-se constante em 37 ºC;
de 10 a 20 minutos, a temperatura aumenta de 37ºC para 40 ºC;
de 20 a 40 minutos, a temperatura permanece constante em 40 ºC;
de 40 a 60 minutos, a temperatura diminui de 40ºC para 37 ºC;
a partir de 60 minutos, a temperatura permanece constante em 37 ºC.
Como em cada intervalo de tempo ocorreu uma variação de temperatura diferente da outra, precisaremos de mais de uma sentença algébrica para expressar essa função.
Uma sugestão, nesse caso, é usar dois pontos para obter a equação da reta suporte que contém tais segmentos de reta.
Em nosso exemplo, temos:
Segmento FG
F=(10,37) e G=(20,40)
(yy0)=m(xx0)
(4037)=m(2010)
m=310
(y37)=310(x10)
y=310x3+37
y=310x+34
Segmento HI
H=(40,40) e I=(60,37)
(yy0)=m(xx0)
(3740)=m(6040)
m=320
(y40)=320(x40)
y=320x+6+40
y=320x+46
Reunindo todas as informações para cada intervalo, podemos compor a função que representa a variação da temperatura corporal do indivíduo f(x) com o passar do tempo x.
Este foi um exemplo prático de função definida por partes. Algumas funções são funções constantes, e outras, funções afins.
Exemplo 2
Um restaurante self-service tem a seguinte tabela de preços:
Crianças até 2 anos não pagam.
Crianças acima de 2 anos e abaixo de 12 anos pagam R$ 15,00.
A partir de 12 anos, todos pagam R$ 35,00.
Analisando essas informações, podemos perceber que se trata de 3 funções constantes.
Vamos colocar esses valores em um gráfico:
Gráfico 2: Função definida por partes. Refere-se ao valor pago na refeição de acordo com a idade do cliente.
Podemos perceber os saltos nessa função, diferentemente da função anterior.
Montando a lei de formação dessa função, temos:
Esse função é mais uma função definida por partes. São 3 funções constantes dentro de uma.
Mas, até agora, mostramos apenas funções de 1º grau. Essas funções definidas por partes só podem ser retas? A resposta é: NÃO!
Exemplo 3
Vamos observar a lei de formação e o gráfico de duas funções que contêm uma função do 2º grau:
Gráfico 3: Função definida por partes: duas retas e uma parábola. Sua lei de formação está definida abaixo.
Essa primeira função não contém salto. Ela é contínua em todo o seu domínio.
Gráfico 4: Função definida por partes: uma reta e uma parábola. Sua lei de formação está definida abaixo.
Já esta segunda função contém um salto em x=1. Ela é descontínua nesse ponto.
Nesse último exemplo, colocamos funções de 1º e 2º graus juntas. As funções definidas por partes podem ser exponenciais, logarítmicas, afins, parabólicas, de 3º grau, entre outras. Elas são úteis em diversos campos das Ciências da Natureza, da Economia e outros ramos do nosso dia a dia.

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