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Matemática EM: Álgebra 2
Curso: Matemática EM: Álgebra 2 > Unidade 1
Lição 1: Introdução à progressão aritmética- Introdução às progressões
- Introdução a progressões aritméticas
- Introdução a progressões aritméticas
- Como estender progressões aritméticas
- Estenda progressões aritméticas
- Como usar as fórmulas de progressões aritméticas
- Introdução às fórmulas de progressão aritmética
- Exemplo solucionado: como usar a fórmula recursiva para progressões aritméticas
- Use fórmulas de progressão aritmética
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Introdução às fórmulas de progressão aritmética
Familiarize-se com os conceitos básicos de fórmulas explícitas e recursivas de progressões aritméticas.
Antes de iniciar essa lição, tenha certeza de que você aprendeu o básico de progressões aritméticas e tem alguma experiência com cálculo de funções e domínio de funções.
O que é uma fórmula?
Normalmente, descrevemos progressões aritméticas da seguinte forma:
Mas existem outras formas. Nesta lição, vamos aprender duas novas maneiras de representar progressões aritméticas: fórmulas recursivas e fórmulas explícitas. Fórmulas nos dão instruções sobre como encontrar qualquer termo de uma progressão.
Para permanecerem gerais, as fórmulas usam n para representar o número de qualquer termo e a, left parenthesis, n, right parenthesis para representar o n, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript termo da progressão. Por exemplo, aqui estão alguns dos primeiros termos da progressão aritmética 3, 5, 7, ...
n | a, left parenthesis, n, right parenthesis |
---|---|
(O número do termo) | (O n, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript termo) |
1 | 3 |
2 | 5 |
3 | 7 |
Mencionamos acima que as fórmulas nos dão instruções sobre como encontrar qualquer termo de uma progressão. Agora, podemos reescrever a frase assim: as fórmulas nos dizem como encontrar a, left parenthesis, n, right parenthesis para qualquer n possível.
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Fórmulas recursivas de progressões aritméticas
As fórmulas recursivas nos fornecem duas informações:
- O primeiro termo de uma progressão
- A regra padrão para se chegar a qualquer termo de uma progressão a partir do termo que vem antes dele
A seguir, temos a fórmula recursiva da nossa progressão 3, 5, 7,... juntamente com a interpretação de cada parte.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos estender a progressão termo a termo:
a, left parenthesis, n, right parenthesis | equals, a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, plus, 2 | |||
---|---|---|---|---|
a, left parenthesis, 1, right parenthesis | equals, start color #11accd, 3, end color #11accd | |||
a, left parenthesis, 2, right parenthesis | equals, a, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2 | equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, 2 | equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff | |
a, left parenthesis, 3, right parenthesis | equals, a, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 2 | equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2 | equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54 | |
a, left parenthesis, 4, right parenthesis | equals, a, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 2 | equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54, plus, 2 | equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10 | |
a, left parenthesis, 5, right parenthesis | equals, a, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, 2 | equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2 | equals, 11 |
Legal! Esta fórmula nos dá a mesma progressão como descrita por 3, 5, 7,...
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Agora, é a sua vez de encontrar termos de progressões usando suas fórmulas recursivas.
Assim como usamos a, left parenthesis, n, right parenthesis para representar o n, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript termo da progressão 3, 5, 7, ..., podemos usar outras letras para representar outras progressões. Por exemplo, podemos usar b, left parenthesis, n, right parenthesis, c, left parenthesis, n, right parenthesis ou d, left parenthesis, n, right parenthesis.
Fórmulas explícitas de progressões aritméticas
A seguir, apresentamos a fórmula explícita de 3, 5, 7, ...
Essa fórmula nos permite simplesmente inserir o número do termo no qual estamos interessados para obter o valor desse termo.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos inserir n, equals, 5 na fórmula explícita.
E vejam só, obtemos o mesmo resultado de antes!
Teste seu conhecimento
Progressões são funções
Observe que as fórmulas que usamos nesta lição funcionam como funções: inserimos o número do termo n e a fórmula retorna o valor do termo a, left parenthesis, n, right parenthesis.
Progressões são, de fato, definidas como funções. Entretanto, n não pode ser qualquer número real. Não existe algo como o quinto termo negativo ou o 0, comma, 4, start superscript, start text, o, end text, end superscript termo de uma progressão.
Isso significa que o domínio de uma progressão - ou seja, o conjunto de todas as entradas possíveis da função - é o conjunto dos números inteiros positivos.
Uma observação sobre notação
Nós escrevemos a, left parenthesis, 4, right parenthesis, por exemplo, para representar o 4, start superscript, start text, o, end text, end superscript termo, mas outras fontes às vezes escrevem a, start subscript, 4, end subscript.
Ambas as notações podem ser usadas. Preferimos a, left parenthesis, 4, right parenthesis porque essa notação enfatiza o fato das progressões serem funções.
Pergunta para reflexão
Desafio
Quer participar da conversa?
- Tem dois erros na última questão. Do passo número 2 para o passo número 3 os valores deveriam ser:
Ou 4(n+1) = 68
Ou -4(n-1) = 68
Ou outro erro é do passo 3 para o passo 4.
4(n-1) = 68 deveria ser resolvido:
4n-4 = 68
4n = 68 + 4
4n = 72
n = 72 / 4
n = 18(0 votos)- Na verdade os passos da questão estão corretos. A sua primeira observação está ERRADA, muito cuidado, ao multiplicar os dois lados da equação por (-1) nós temos:
(-1)*(-68)=[-4(n-1)]*(-1) - Aqui o "-4(n-1)" representa um termo de 2 fatores e quando multiplicamos o termo inteiro por (-1) mudamos sinal apenas do termo. Então temos:
68=4(n-1) *Pense no "-4(n-1)" como se fosse "-4x" se multiplicarmos por (-1) temos 4x
A sua segunda observação é apenas um outro método de se resolver o restante da questão.
4(n-1)=68 - Dividindo os dois lados da equação por 4, nós temos: *4(n-1)/4=n-1
n-1=17 - Somando-se 1 aos dois lados da equação, nós temos:
n=18(16 votos)
- progressão aritimética tem outra formula?(2 votos)
- A fórmula da progressão aritmética propriamente dita consiste nestas duas: a explícita e a recursiva.
Porém, há outras formulas que estão englobadas no conteúdo da P.A, como por exemplo: a soma dos termos de uma progressão aritmética.
Espero ter ajudado!(2 votos)
- muito bacana, imagino que seja muito util em computação.(2 votos)
- apesar de estar conseguindo acertas pelo menos metade das questões ainda confundo recursiva e explícita(2 votos)
- Qual o nome que se a regra padrão de um termo? E como ela é representada nas formulas? Pois aqui ela já foi inserida e as formulas não foram generalizadas.(2 votos)