Introdução a progressões aritméticas

RKA1JV Neste vídeo, nós vamos estudar um tipo de sequência muito especial, são as progressões aritméticas. As progressões aritméticas têm uma característica muito interessante, que na verdade é o que as define, que é o fato de que um termo é sempre a mesma quantidade maior que o termo anterior. Vamos olhar para estas três sequências, ver quais são progressões aritméticas. Vamos escrever um termo geral por meio da notação de função através da qual nós podemos calcular qualquer termo a partir de seu índice, também vamos escrever o seu termo da maneira recursiva e vamos explorar um pouco estes exemplos. Vamos começar analisando esta primeira sequência, a partir dela você vê que de -5 para -3, adiciona-se 2, de -3 para -1, adiciona-se 2, de -1 para 1, adiciona-se 2 e assim por diante. Temos aqui a progressão aritmética porque um termo é sempre a mesma quantidade maior que o anterior, ou seja, -3 é duas unidades maior que -5, -1 é duas unidades maior que - 3, etc. Vamos escrever seu termo geral, isto é, descrever esta sequência, esta progressão aritmética, a partir da ideia de uma função. Vamos ter aqui, de maneira geral, que a sequência composta pelos termos "a" com índice "n", com "n" indo de 1 infinitamente, com, vamos agora usar a maneira explícita de descrevê-la, um certo termo aₙ vai ser calculado a partir do primeiro termo, que é -5, adicionando a ele sempre a mesma quantidade, que é uma unidade menor que o índice do termo para o qual estou olhando, por exemplo, o segundo termo a₂, eu adiciono 2 uma vez, o terceiro termo a partir do primeiro, adiciono duas vezes 2. Quarto termo a partir do primeiro, adiciono três vezes o 2, o termo geral aₙ seria igual ao primeiro termo mais 2, que é o número que eu vou sempre adicionando, multiplicado pelo índice subtraído de uma unidade. Esta é a maneira explícita de definir o termo geral desta progressão aritmética, e eu poderia, também, usar a maneira recursiva. Para isso, eu definiria que o a₁, primeiro termo, é justamente o -5 e que o termo seguinte é obtido a partir do anterior, adicionando duas unidades. Então, um certo termo aₙ é obtido a partir do aₙ - ₁, que é o termo anterior, adicionado de duas unidades, isso só valendo para "n" maior que ou igual a 2. Esta definição recursiva só vale do segundo termo em diante, o primeiro termo já é determinado pelo início da progressão aritmética. Temos aqui as duas maneiras de definir a progressão aritmética, explicitamente, desta forma, ou recursivamente, usando este outro método. Vamos agora olhar para esta outra progressão, vamos verificar se é uma progressão aritmética. De 100 a 107, nós adicionamos 7, de 107 a 114, também adicionamos 7, de 114 para 121, também adicionamos 7 e assim por diante. Sim, esta é uma progressão aritmética, assim como a primeira também era. Vamos escrever sua definição de maneira explícita e também recursiva. Começando pela maneira explícita, um certo termo aₙ com "n" indo de 1 infinitamente, com o aₙ é igual a? O termo inicial é 100 e a ele vamos adicionar 7, 7, 7, 7, sempre uma vez a menos quanto o índice em questão, então, 7 vezes o "n - 1". Este é o termo geral da progressão aritmética escrito da maneira explícita. Por outro lado, podemos escrever também que essa expressão é o "aₙ", com "n" indo de 1 a infinito, com, para definição recursiva, explicitamos o primeiro termo, que é 100. E a partir do segundo termo, um certo termo aₙ, é o aₙ - ₁ que é o anterior, neste caso, adicionado de 7. Isto para "n" maior que ou igual a 2. De maneira geral, podemos definir uma progressão aritmética seguindo a ideia de que temos uma sequência dos termos aₙ com "n" começando em 1 infinitamente e da maneira explícita com aₙ igual, veja, aqui nós temos o primeiro termo, então, sempre colocaríamos o primeiro termo adicionado do índice -1, multiplicado por este número que vai se repetindo. Este número nós vamos indicar pela letra "r", que é chamado de razão da progressão aritmética. Utilizando a maneira recursiva, de modo geral, definiríamos a progressão aritmética com a₁ definido por um certo valor "k", que é o próprio a₁, é o primeiro termo. Neste caso, -5, nesse outro caso 100, e o aₙ seria o termo anterior, por isso aₙ - ₁, mais, o número que eu vou adicionando de um termo para o outro, que vamos indicar novamente pela letra "r", que é a razão. Isso aqui para aₙ maior que ou igual a 2. Vamos, agora, analisar esta terceira sequência. Será uma progressão aritmética? Indo de um termo para o próximo, de 1 para 3, adicionamos 2, de 3 para 6, adicionamos 3, de 6 para 10, adicionamos 4. Estamos adicionando quantidades diferentes de um termo para o próximo, então, não é uma progressão aritmética. Mas como isso se define? Poderíamos escrever também o termo geral desta sequência, dessa progressão. Para esta sequência, teríamos aₙ com "n" indo de 1 infinitamente, até o infinito, com o a₁, o primeiro termo, o número 1. A partir do segundo, vamos definir o aₙ que é obtido a partir do termo anterior, adicionado a, observe, este aqui é o a₂ e usamos a adição de duas unidades para obtê-lo. Este aqui é o a₃ e para ele foram adicionados 3 unidades anterior, no a₄, 4 unidades, então para o aₙ, vamos adicionar "n" unidades. Esta seria a forma recursiva de definir esta sequência, observe que no termo geral dela, vamos adicionando uma quantidade que vai variando, por isso não pode ser uma progressão aritmética. Mesmo não sendo uma progressão aritmética, é uma sequência bastante interessante. Por ora, estudamos as progressões aritméticas. Nosso estudo continua com outros tipos de progressões nos próximos vídeos. Até lá!