Introdução às séries aritméticas

RKA3JV - Digamos que temos aqui a mais simples das progressões aritméticas. Aquela em que começamos em 1 e vamos incrementando de um em um. Ou seja, 1, 2, 3 e continuamos até um valor "n". E queremos agora pensar sobre o que é a soma de todos estes valores desta sequência. E já sabemos que a soma dos termos de uma sequência é chamada de série. Vamos identificar por Sn a soma dos "n" termos desta progressão aritmética. E seria Sn = 1 + 2 + 3 e assim por diante até mais o valor "n". Eu vou fazer aqui um pequeno truque, eu vou reescrever esta soma, porém em outra ordem. Eu vou inverter a ordem das parcelas, Sn = n + (n - 1) + (n - 2), e assim por diante, até +1. Agora, eu vou adicionar membro a membro, estas duas igualdades. Do lado esquerdo da igualdade, estamos adicionando Sn, que é um valor, mais Sn, que é o mesmo valor. Portanto, vamos ter 2 vezes Sn, 2Sn. Igual, vamos adicionar os termos do lado direito da igualdade. Temos aqui, 1 + n, que podemos escrever como n + 1. Agora, vamos adicionar 2 a (n - 1). 2 + (n - 1), simplifique! Resulta em n + 1, novamente. Agora, temos 3 + (n - 2). 3 + (n - 2), simplificando, resulta em n + 1 outra vez. E assim, vamos continuando até aqui o último termo que será n + 1 novamente. Dá para perceber que nesta soma temos a adição de várias parcelas iguais, cada uma delas valendo n + 1. E quantas são essas parcelas n + 1? Ora, basta observar que temos "n" parcelas n + 1, porque nós tínhamos "n" termos na primeira igualdade e "n" parcelas na segunda igualdade. E formamos "n" pares, cada um valendo n + 1. Então, podemos reescrever essa igualdade como: 2 vezes Sn, igual, temos "n" vezes a parcela igual n + 1, então "n" vezes n + 1. Agora, nosso objetivo é descobrir Sn. Basta dividir por 2, teremos Sn igual a "n" vezes n + 1, tudo sobre 2. Então, a soma dos "n" primeiros números naturais a partir de 1, resulta em n (n + 1) / 2. Isso é importante. Com isto você calcula rapidamente a soma dos números naturais. Por exemplo, de 1 até 100. Bastaria fazer 100 vezes 100 + 1 e o resultado sobre 2. Então, rapidamente você descobre essa soma. E a pergunta que já vai ficando aqui para que exploremos em um vídeo futuro é: podemos generalizar esta ideia? Já que aqui começamos com uma sequência bem simples, começando em 1 e aumentando de um em um. E podemos também observar uma outra coisa, essa mesma expressão pode ser reescrita como "n" vezes (n + 1) / 2. Observando que este "n" é o enésimo termo da nossa sequência, e este 1 veio do primeiro termo da nossa sequência. Então, pelo menos neste caso, podemos observar que para obter a soma dos termos dessa sequência eu fiz a média aritmética entre o primeiro e o último termos, e depois multipliquei pelo número de termos. Agora, estou curioso para verificar se essa ideia vale para a soma dos "n" termos de qualquer progressão aritmética. Ou seja, se em uma progressão aritmética a soma dos seus "n" termos é a média aritmética entre o primeiro e o último, multiplicada pelo número de termos. Pense sobre isso! Até o próximo vídeo!