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Matemática EM: Álgebra 2
Curso: Matemática EM: Álgebra 2 > Unidade 1
Lição 3: Soma dos termos de uma progressão aritmética finita- Introdução às séries aritméticas
- Séries aritméticas
- Exemplo prático: séries aritméticas finitas (expressão de soma)
- Exemplo prático: séries aritméticas finitas (fórmula recursiva)
- Planilha de série aritmética
- Séries aritméticas
- Prova da fórmula da progressão aritmética finita
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Introdução às séries aritméticas
Neste vídeo, explicamos a fórmula para a soma de uma série aritmética finita. Versão original criada por Sal Khan.
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- A soma dos termos de uma sequência é chamada de séries aritméticas, onde sn = n. (a1+an)/2
EX:
Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, …), calcule a soma dos seus 100 primeiros termos.
Para descobrir a soma dos termos é necessário conhecer o último termo dessa PA. Para isso, usaremos a fórmula do termo geral de uma PA, para descobrir qual será o a100
an= a1 + (n – 1)r
a100 = 2 + (100 – 1).2
a100 = 2 + (99).2
a100 = 2 + 198
a100 = 200
sabendo qual é o ultimo termo, vamos fazer a soma dos termos, ou seja, a série aritmética
sn = n(a1+ an)/2
S100 = 100(2 + 200)/2
S100 = 100(202)/2
S100 = 20 200/2
S100 = 10 100(3 votos) - Onde usaremos essa aplicação no nosso dia a dia ?(3 votos)
- A soma dos termos de uma sequência é chamada de séries aritméticas, onde sn = n. (a1+an)/2
EX:
Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, …), calcule a soma dos seus 100 primeiros termos.(3 votos) - Com o vídeo entendi como usar as fórmulas e que são sequências numéricas, mais como seria aplicada no nosso cotidiano?!(2 votos)
- como podemos usar isso em nosso cotidiano?(2 votos)
- como aplicar isso em uma situação do cotidiano ?(2 votos)
- É sempre necessário utilizar a fórmula para fazer?(2 votos)
- está em inglês, consegui entender só um pouco(2 votos)
- dá pra colocar legenda e traduzir para o português :)(2 votos)
- Como aplicar isso em uma situação do cotidiano?(1 voto)
- Esse vídeo tornou tudo mais fácil, mas quero um exemplo de como podemos usar isso no nosso cotidiano?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - Digamos que temos aqui a mais
simples das progressões aritméticas. Aquela em que começamos em 1
e vamos incrementando de um em um. Ou seja, 1, 2, 3 e continuamos
até um valor "n". E queremos agora pensar sobre o que é a soma de todos
estes valores desta sequência. E já sabemos que a soma dos termos
de uma sequência é chamada de série. Vamos identificar por Sn a soma dos
"n" termos desta progressão aritmética. E seria Sn = 1 + 2 + 3 e assim por diante até mais o valor "n". Eu vou fazer aqui
um pequeno truque, eu vou reescrever esta soma,
porém em outra ordem. Eu vou inverter a ordem das parcelas, Sn = n + (n - 1) + (n - 2), e assim por diante, até +1. Agora, eu vou adicionar membro a membro,
estas duas igualdades. Do lado esquerdo da igualdade,
estamos adicionando Sn, que é um valor, mais Sn, que é o mesmo valor. Portanto, vamos ter 2 vezes Sn, 2Sn. Igual, vamos adicionar os termos
do lado direito da igualdade. Temos aqui, 1 + n, que podemos escrever como n + 1. Agora, vamos adicionar 2 a (n - 1). 2 + (n - 1), simplifique! Resulta em n + 1, novamente. Agora, temos 3 + (n - 2). 3 + (n - 2), simplificando, resulta em n + 1 outra vez. E assim, vamos continuando
até aqui o último termo que será n + 1 novamente. Dá para perceber que nesta soma
temos a adição de várias parcelas iguais,
cada uma delas valendo n + 1. E quantas são essas parcelas n + 1? Ora, basta observar que temos
"n" parcelas n + 1, porque nós tínhamos
"n" termos na primeira igualdade e "n" parcelas na segunda igualdade. E formamos "n" pares,
cada um valendo n + 1. Então, podemos reescrever
essa igualdade como: 2 vezes Sn, igual, temos "n" vezes
a parcela igual n + 1, então "n" vezes n + 1. Agora, nosso objetivo é descobrir Sn. Basta dividir por 2, teremos Sn igual a "n" vezes n + 1,
tudo sobre 2. Então, a soma dos "n" primeiros
números naturais a partir de 1, resulta em n (n + 1) / 2. Isso é importante. Com isto você calcula rapidamente
a soma dos números naturais. Por exemplo, de 1 até 100. Bastaria fazer 100 vezes 100 + 1 e o resultado sobre 2. Então, rapidamente você
descobre essa soma. E a pergunta que já vai ficando aqui
para que exploremos em um vídeo futuro é: podemos generalizar esta ideia? Já que aqui começamos com
uma sequência bem simples, começando em 1 e aumentando de um em um. E podemos também observar uma outra coisa, essa mesma expressão pode ser
reescrita como "n" vezes (n + 1) / 2. Observando que este "n"
é o enésimo termo da nossa sequência, e este 1 veio do primeiro termo
da nossa sequência. Então, pelo menos neste caso,
podemos observar que para obter a soma dos termos
dessa sequência eu fiz a média aritmética entre
o primeiro e o último termos, e depois multipliquei
pelo número de termos. Agora, estou curioso para verificar
se essa ideia vale para a soma dos "n" termos de qualquer
progressão aritmética. Ou seja, se em uma progressão aritmética a soma dos seus "n" termos é a média aritmética entre o primeiro e o último, multiplicada pelo número de termos. Pense sobre isso!
Até o próximo vídeo!