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Matemática EM: Álgebra 2
Curso: Matemática EM: Álgebra 2 > Unidade 1
Lição 2: Termo geral da progressão aritmética- Fórmulas recursivas de progressões aritméticas
- Fórmulas recursivas de progressões aritméticas
- Fórmulas recursivas de progressões aritméticas
- Fórmulas explícitas de progressões aritméticas
- Fórmulas explícitas de progressões aritméticas
- Fórmulas explícitas de progressões aritméticas
- Problema de progressão aritmética
- Conversão das formas recursiva e explícita de progressões aritméticas
- Conversão das formas recursiva e explícita de progressões aritméticas
- Conversão das formas recursiva e explícita de progressões aritméticas
- Revisão de progressões aritméticas
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Fórmulas explícitas de progressões aritméticas
Aprenda a encontrar fórmulas explícitas para progressões aritméticas. Por exemplo, encontre uma fórmula explícita para 3, 5, 7,...
Antes de fazer esta lição, certifique-se de que você conhece os fundamentos das fórmulas de progressão aritmética formulas.
Como funcionam as fórmulas explícitas
A seguir, temos uma fórmula explícita da progressão 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
Na fórmula, n é qualquer número de termo e a, left parenthesis, n, right parenthesis é o n-ésimo termo.
Essa fórmula nos permite simplesmente inserir o número do termo no qual estamos interessado, e vamos obter o valor desse termo.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos inserir n, equals, 5 na fórmula explícita.
Que legal! Esse realmente é o quinto termo de 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
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Como escrever fórmulas explícitas
Considere a progressão aritmética 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point O primeiro termo da progressão é start color #0d923f, 5, end color #0d923f e a diferença comum é start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6.
Podemos obter qualquer termo da progressão pegando o primeiro termo start color #0d923f, 5, end color #0d923f e somando a diferença comum start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6 repetidamente. Veja, por exemplo, os seguintes cálculos dos primeiros termos.
n | Cálculo do n-ésimo termo | ||
---|---|---|---|
1 | start color #0d923f, 5, end color #0d923f | equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 5 | |
2 | start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 8 | |
3 | start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 11 | |
4 | start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 14 | |
5 | start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 17 |
A tabela mostra que podemos obter o n-ésimo termo (onde n é qualquer número de termo) pegando o primeiro termo start color #0d923f, 5, end color #0d923f e somando a diferença comum start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6 repetidamente por n, minus, 1 vezes. Isso pode ser escrito algebricamente como start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Em geral, esta é a fórmula explícita padrão de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é start color #0d923f, A, end color #0d923f e cuja diferença comum é start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6:
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Fórmulas explícitas equivalentes
As fórmulas explícitas podem ocorrer em várias formas.
Por exemplo, as fórmulas a seguir são todas fórmulas explícitas da progressão 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
- 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis (esta é a fórmula padrão)
As fórmulas podem parecer diferentes, mas o importante é que podemos inserir um valor de n e obter o n-ésimo termo correto (veja você mesmo como as outras fórmulas estão corretas!).
As diferentes fórmulas explícitas que descrevem a mesma progressão são chamadas de fórmulas equivalentes.
Um erro comum
Uma progressão aritmética pode ter diferentes fórmulas equivalentes, mas é importante lembrar que apenas a forma padrão nos dá o primeiro termo e a diferença comum.
Por exemplo, a progressão 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point, point tem start color #0d923f, 2, end color #0d923f como primeiro termo e uma diferença comum de start color #ed5fa6, 6, end color #ed5fa6.
A fórmula explícita start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis descreve esta progressão, mas a fórmula explícita start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, n descreve uma progressão diferente.
Para transformar a fórmula 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis em uma fórmula equivalente da forma A, plus, B, n, podemos eliminar os parênteses e simplificar:
Algumas pessoas talvez prefiram a fórmula minus, 4, plus, 6, n em vez da fórmula equivalente 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, porque a primeira é menor. O legal da fórmula maior é que ela nos dá o primeiro termo.
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