Conversão das formas recursiva e explícita de progressões aritméticas

RKA - Aqui nesse vídeo nos é dada essa sequência: h(n) = -31 - 7(n - 1). Então, isso vai gerar uma sequência de números, esse "n" vai ser um número inteiro a partir do 1, então primeiro termo, segundo termo, etc. E nós vamos definir quais são os termos dessa sequência. Para isso, vou desenhar uma tabelinha para facilitar um pouco a nossa vida. Então, a gente vai ter o valor do "n", que vai a partir do 1 em diante, e aqui nós vamos ter o h(n). Se o "n" for igual a 1, se ele for igual a 1, aqui nós vamos ter -31 - 7×(1 - 1), porque no lugar do "n" vai entrar o 1, 1 -1, então aqui vai dar zero, concorda comigo? 7 × 0 = 0. Vai sobrar apenas o -31. Então, quando "n" = 1, o h(n) vai ser igual a -31. E se o "n" for igual a 2 agora? A gente vai ter assim: -31 - 7×(2 - 1). Aqui vai dar 1, certo? A gente vai ter 7 × 1, que dá -7. - 31 - 7 dá -38, concorda comigo? Então, quando n = 3, a mesma coisa acontece. -31 - 7 × (3 - 1), que vai dar 2. Vamos ter o seguinte -14 e -31, ou seja, -45. Você percebe que cada novo termo da sequência é 7 unidades a menos que o anterior. Então, a gente vai subtraindo 7. Subtrai 7 a cada novo termo. Daqui a gente já consegue escrever essa sequência. Essa sequência é formada pelos números -31, que é o primeiro termo, -38 é o segundo termo, -45 é o terceiro termo, o quarto termo aqui seria o -52 e assim por diante. Agora será que a gente consegue definir essa sequência aqui, em vez dessa forma analítica, onde você substitui valor do "n" por 1, 2, 3, será que a gente consegue fazer isso de maneira recursiva? Vamos definir aqui agora uma g(n), que vai ser igual ao seguinte. Na verdade, para definir recursivamente é mais fácil até que fazer dessa forma. Perceba que se o "n" for igual a 1, a gente pode determinar já o primeiro termo da sequência. Então se "n" = 1, vou dizer que o primeiro termo é -31. A g(n) vai ser igual a -31, se o "n" for igual a 1, beleza? Agora, se o "n" for maior do que 1 e, além disso esse "n" é um número inteiro, "n" é inteiro, porque pode ser o número 1, 2, 3, etc. Apenas números inteiros. Então, se o "n" for maior do que 1, ou seja, o segundo termo, o terceiro termo, etc. Isso vai ser o termo anterior: g (n - 1) - 7 porque a gente está subtraindo 7 a cada novo termo da sequência, beleza? Então, dessa forma, a gente consegue definir uma g(n) de maneira recursiva. É a mesma sequência, vai me dar os mesmos termos, só que definida de uma outra forma. Aqui nós temos uma fórmula, uma equação que vai determinar essa sequência. Aqui nós temos a mesma sequência definida de forma recursiva. Vamos fazer mais um aqui. Aqui nós temos, no caso, uma sequência que está definida recursivamente portanto, aqui vamos fazer o contrário do que fizemos lá em cima, começando da recursiva. Para isso, eu vou fazer a nossa famosa tabelinha. Vamos lá então. Aqui eu vou ter o "n" e aqui eu vou ter a h(n). Então, é o seguinte. Quando o nosso "n" for igual a 1, repare que essa sequência começa com 9,6, se o "n" for igual a 1. E é o h(n - 1) - 0,1, se o "n" for maior que 1 e esse "n" for um número inteiro. Então é o seguinte. Se o "n" = 1, que é o primeiro termo aqui, 9,6. Aqui vai ser 9,6. Quando "n" = 2, já entra nesse segundo caso do n > 1, e o que acontece? Eu vou pegar o termo anterior, ou seja, o 9,6 e vou tirar 0,1, vou tirar um décimo. Então, vai ser 9,6 - 0,1 = 9,5. O terceiro termo aqui vai ser o 9,5 - 0,1, ou seja, 9,4. E assim por diante. Então, daqui já consegue determinar essa sequência h(n). Começa com 9,6, o segundo termo é o 9,5 depois 9,4; 9,3; 9,2; 9,1 e assim em diante. Então, dessa forma definida essa sequência aqui de maneira recursiva. Vamos agora tentar defini-la explicitamente através de uma fórmula, como a gente tinha ali no exemplo anterior. Então, é o seguinte. Eu vou fazer agora uma f(n) e vou tentar escrever essa f(n), tentar fazer essa mesma sequência só que através de uma fórmula. Então, aqui vai ser o seguinte. Vai ser 9,6, vou colocar aqui no começo, 9,6 menos, o quê eu estou fazendo aqui? Estou tirando 0,1 a cada novo termo da sequência. Então 9,6 - 0,1 que vai multiplicar aqui por alguma coisa que eu vou definir o quê é agora. O primeiro termo eu vou subtrair 0,1 nenhuma vez. Zero vezes, concorda comigo? No segundo termo, eu já subtraio uma vez. Então, menos 0,1. No terceiro termo, eu vou subtrair 0,1 novamente. Então, perceba que aqui está ficando uma unidade a menos do que a posição que esse termo ocupa. Então, primeiro termo, segundo termo, terceiro termo, certo? Então, aqui eu subtrai uma vez no segundo termo, duas vezes no terceiro termo. Então, aqui vai ser n - 1. Perceba agora, por exemplo, que no 4º termo vou subtrair três vezes 0,1 e é exatamente o que acontece nesa sequência. F(4), por exemplo, seja 9,6 - 0,1 que multiplica por 4 - 1, ou seja por 3. Então, vou subtrair 0,1 de 9,6 3 vezes, exatamente o que acontece aqui. Então, conseguimos definir explicitamente essa mesma sequência que aqui está definida recursivamente inicialmente. Então é isso por esse vídeo. Até o próximo vídeo!