Como usar fórmulas recursivas de progressões geométricas

RKA - Aqui nós temos uma progressão geométrica que é dada pela fórmula recursiva. Ou seja, dá o primeiro termo e, os outros termos são calculados a partir do termo anterior. Então, se queremos achar "a₄", temos que achar "a₃". E "a₄" vai ser "a₃" vezes o termo que está sendo multiplicado. Cada termo que está sendo multiplicado, ele está sendo multiplicado por 2. O termo posterior é o termo anterior, vezes 2. Ou seja, nossa razão geométrica é 2. Portanto, vezes 2. Quem é nosso "a₃"? "a₃" vai ser "a₂ × 2". E quem vai ser nosso "a₂"? "a₂" vai ser igual "a₁ × 2". Ora, nós sabemos quanto vale "a₁". "a₁" é -1/8. Então, -1/8 × 2. Ou seja, nosso "a₂" vai ser -1/4. Quem vai ser o nosso "a₃"? Nosso "a₃" vai ser o "a₂" que é -1/4, que já calculamos, vezes 2 que vai ser -2/4, que vai dar -1/2. E, finalmente, quem vai ser nosso "a₄"? Nosso "a₄" vai ser -1/6 × 2 que vai ser -1. Será que teria outra forma da gente resolver essa expressão? Chegar nesse resultado? Chegar no resultado -1? Vamos ver. Cada termo posterior é o termo anterior vezes dois. Ou seja, eu posso dizer que "a₄" vai ser igual a₁ × 2ⁿ¯¹ termos. Ou seja, nosso "a₄" vai ser igual a "a₁" que é -1/8 × 2ⁿ, que no caso é 4 que nós queremos calcular, -1 = 3. 2³ é 8, dividido por 8, vai dar -1. Faz sentido para os outros termos? Vamos ver. O a₃ é igual a -1/8 × 2ⁿ¯¹ É "a₃", "n-1" vai dar, 3 - 1 = 2 Ou seja, 4 ÷ 8 vai ficar 1/2. Então, vai ficar -1/2. E bateu com nosso "a₃", calculado anteriormente. E finalmente nosso "a₂". Nosso "a₂" seria -1/8, "2ⁿ", "n" que é 2 menos 1, 2 - 1 = 1. então 2¹. E nós teríamos -1/8 × 2 que daria -1/4 que também bate com o que calculamos inicialmente. De uma forma genérica, nós podemos calcular isso. Nós podemos dizer, o "a₄" é igual "a₃" vezes a nossa razão. Vamos chamar nossa razão de "q". O "a₃" é igual o "a₂" vezes a nossa razão "q". O"a₂" é igual "a₁" vezes a nossa razão "q". Se nós multiplicarmos de ambos os lados, vamos ter "a₄ × a₃ × a₂" e, desse lado de cá, Vamos ter "a₃ × q", vamos ter "a₂ × q", e vamos ter "a₁ × q". "a₃" eu posso simplificar com "a₃". "a₂" posso simplificar com "a₂". Então, eu tenho que "a₄" vai ser igual, apenas restou o nosso "a₁". E quantos "q" restaram? Ora, apenas 3 porque nós contamos "n-1" termos. Só começamos a contar do 2 até o 4. Então, "qⁿ¯¹". Então você tem o "a₄" será o "a₁" que é -1/8, vezes o "q" que é 2, o "n" é 4, então 4 -1 = 3. E nós temos 2³ = 8 dividido por 8. Vamos ter -1 como resposta. E dessa forma você não gasta tanto papel quanto você gastaria. Você já imaginou se o termo fosse o termo 20 e você tivesse que calcular o 19, 18, 17 e assim por diante? Ou seja, existe um termo genérico, e vamos ver nos outros vídeos, que você resolve de maneira mais simples para números bem maiores.