Soma dos termos de uma progressão geométrica finita

Neste artigo, vamos sistematizar a expressão que determina a soma dos termos de uma progressão geométrica finita, explorada ao longo da lição.

Vamos usar uma situação problema em que seja necessário adicionar os valores de uma progressão geométrica finita e, após a comparação dos valores envolvidos, deduzir informalmente a expressão desejada.

Suponha a seguinte situação: um indivíduo realizou um empréstimo e deverá pagar, durante $12$12 meses seguidos, o valor de $\text{R}\$100{,}00$start text, R, end text, dollar sign, 100, comma, 00 mais um acréscimo de $5\%$5, percent de juros em relação ao valor pago no mês anterior.

Representando as parcelas pagas pelo indivíduo, temos:

Caso multiplicássemos todas as parcelas por $1{,}05$1, comma, 05, teríamos:

Determinando a diferença entre as expressões $(**)$left parenthesis, times, times, right parenthesis e $(*)$left parenthesis, times, right parenthesis obtidas, temos:

Colocando os fatores comuns em evidência, temos:

Finalmente, dividindo ambos os membros por $(1{,}05 - 1)$left parenthesis, 1, comma, 05, minus, 1, right parenthesis, temos:

Comparando a expressão obtida com os dados iniciais da situação, temos que:

Dessa forma, temos que a expressão para indicar a Soma $(S_n)$left parenthesis, S, start subscript, n, end subscript, right parenthesis dos termos de uma PG finita é dada por:

Vale ressaltar que, para se ter o valor da soma de determinada quantidade de termos de uma progressão geométrica, é necessário saber o valor do primeiro termo, a razão dessa progressão e quantos termos se deseja somar.

Vejamos mais um exemplo, agora já aplicando a fórmula.

Uma fábrica de chocolates inaugurada em $2015$2015 produziu $10\space000$10, space, 000 ovos de páscoa nesse mesmo ano.

Pensando em simplesmente escrever quantos chocolates foram feitos ao longo dos anos, temos:

Para saber o total de ovos produzidos, basta agora somar esses valores:

$10\space000+15\space000+22\space500+33\space750+50\space625=131\space875$10, space, 000, plus, 15, space, 000, plus, 22, space, 500, plus, 33, space, 750, plus, 50, space, 625, equals, 131, space, 875 ovos ao longo dos $5$5 anos

Vamos fazer o mesmo cálculo usando agora a fórmula.

Nosso primeiro termo é $10\space000$10, space, 000, $(a_1=10\space000)$left parenthesis, a, start subscript, 1, end subscript, equals, 10, space, 000, right parenthesis, queremos a soma de $5$5 termos, ou seja $n=5$n, equals, 5, e a cada ano temos $50\%$50, percent a mais; logo, a razão $q=100\%+50\%=150\%=1{,}5$q, equals, 100, percent, plus, 50, percent, equals, 150, percent, equals, 1, comma, 5.

Usando a fórmula, temos:

Que é o mesmo valor encontrado anteriormente.

Mas se eu posso simplesmente encontrar todos os valores e somar, qual a vantagem de usar a fórmula da soma da progressão geométrica finita?

Imagine que o problema pergunte qual a soma dos $100$100 primeiros termos da sequência? Nesse caso, seria extremamente trabalhoso fazer todos os termos e depois somar. Por esse motivo, essa fórmula é muito significativa.