Fórmula das séries geométricas finitas

RKA - Nesse vídeo vamos deduzir a soma de uma progressão geométrica finita. Para isso, vamos colocar alguns termos. O primeiro termo, vamos chamar de "a". A razão, vamos chamar de "q". E o número de termos, vamos chamar de "n". Portanto, a soma de uma progressão geométrica finita fica sendo: o primeiro termo mais o segundo, que é o primeiro vezes a razão, mais o terceiro, que é o segundo vezes a razão, então fica a vezes q², mais o quarto termo, que é a vezes q³, e assim sucessivamente até termos a vezes q... Elevado a quanto? Bem, aí vamos ter um pouco de calma. Aqui é o nosso primeiro termo. Quando q está elevado a 1, nós estamos no segundo termo. q², nós estamos no terceiro termo. q³, nós estamos no quarto termo. Portanto, se o nosso termo é o enézimo termo, nós vamos ter q elevado a n - 1. Então, essa é expressão da soma. Nós vamos achar uma expressão geral. Para isso, vamos fazer um pequeno artifício. O artifício vai ser multiplicar esse lado pela razão q, e esse lado também pela razão q. Multiplicando esse lado pela razão q, vamos ter a expressão: q vezes sn é igual a: a vezes q mais... a vezes q, vezes q é aq². Mais, a vezes q, vezes q, vezes q, vai ficar aq³, mais... até a vezes q elevado a n - 1. E o último termo vai ser: aq elevado a n - 1, multiplicado por q, vai ficar aq elevado a n. Bem, feito isso, vamos chamar essa expressão de "primeira expressão". Essa segunda expressão, de "segunda expressão". Muito bem, podemos fazer a dedução de duas formas: a primeira forma que vamos fazer é: a segunda expressão menos a primeira expressão. Então, aqui ficamos com qsn - sn, o lado esquerdo. Subtraímos a segunda da primeira. E, quando formos subtrair a segunda da primeira, todas essas parcelas vão ser simplificadas. Portanto, na segunda expressão, nós vamos ter a vezes q elevado a n menos... E na primeira expressão sobrou apenas o a. Então, a expressão geral fica: nós temos em evidência a soma, que vai ser q - 1 aqui em evidência, e o a em evidência, q elevado a n - 1. E então, temos a expressão geral como: sn = aq elevado a n -1 sobre q - 1. Essa expressão, você vai utilizar em muitos problemas, em muitos exercícios. Como, em muitos livros, em algumas ocasiões, você encontra essa mesma expressão de uma maneira diferente, vamos colocar dessa outra forma também. É a mesma expressão, só que deduzida de uma maneira diferente. Então, se nós colocarmos a primeira expressão menos a segunda, nós vamos ter sn, de um lado, menos q vezes sn. Do outro lado vai simplificar todo mundo... Mas vai sobrar de cima, da primeira expressão, o a menos a última, que vai ser a vezes q elevado a n. Então, nós temos sn em evidência, 1 - q... E, temos aqui o a em evidência, 1 - q elevado a n. Então, a expressão geral fica: a soma é o primeiro termo, 1 - q elevado a n, sobre 1 - q. Essa é a expressão geral. E você pode estar se perguntando: "Como que duas expressões diferentes podem expressar a mesma coisa?" Ora, elas não são diferentes, elas são idênticas. É a mesma expressão. Veja, vamos provar: se você multiplicar essa expressão por -1 em cima e -1 embaixo, esses sinais vão ficar trocados. Senão, vejamos... Nós temos sn. Vamos pegar essa expressão, colocamos sn, e multiplicamos por -1 em cima e por -1 embaixo. Com isso, não alteramos a fração. Portanto, nós temos a expressão: a, q elevado a n - 1 sobre q -1. Ora, em cima, nós podemos colocar esse sinal de menos multiplicado aqui, para dentro dos parênteses. Então, vamos ter: a vezes -q elevado a n + 1. E embaixo vamos ter: -q + 1. Ajeitando, nós vamos ter qual expressão? Vamos ter a vezes 1 - q elevado a n sobre 1 - q, que é a expressão que calculamos da segunda forma. Portanto, você pode utilizar tanto a primeira maneira quanto a segunda forma, que são equivalentes, e vamos utilizar em vários exercícios posteriores.