Problemas de série geométrica: balanço

RKA8JV - Olá, pessoal! Tudo bem? Temos alguns exercícios para resolver. Um macaquinho está se balançando em algumas árvores. No primeiro balanço, ele atravessa um arco de 24 metros. Em cada balanço, ele atravessa um arco que tem 1/2 de comprimento do balanço anterior. Para começar, vamos fazer um desenho representativo dessa situação. Temos um cipó e o nosso macaquinho está nele. No primeiro balanço, ele atravessou 24 metros. E de acordo com as informações que temos, nos balanços seguintes, ele atravessou metade do anterior. Então, no segundo balanço seriam 12 metros, depois 6 e assim vai. Para quem já se balançou e árvores, isso é bem consistente com nossas experiências em balanços de árvore. Mas vamos lá para a nossa primeira pergunta. Qual expressão nos dá o comprimento total dos balanços do macaquinho nos primeiros "n" balanços?" Seria legal você pausar o vídeo para tentar resolver sozinho primeiro. Veja se você consegue expressar isso por duas formas diferentes. Primeiro, como uma série geométrica, depois como a soma da série geométrica, caso de fato ela fosse calculada. Agora, vamos juntos. Temos noção que no primeiro balanço o macaquinho vai 24 metros , e nos seguintes, a metade do anterior. Eu dei uma dica bem legal para você antes ao pedir que fizesse como uma série geométrica. Poderíamos colocar o 12 aqui embaixo, mas uma coisa interessante aqui, é que para uma série geométrica, a nossa razão comum sempre vai ser o 1/2, e isso vai para cada balanço seguinte, então, em vez de 12, vamos colocar 24 vezes 1/2, e para o seguinte, que seria a metade da metade, seria 24 vezes (1/2)². Dessa forma, temos agora nossos três primeiros balanços "n", e isso significa que vamos ter 24 vezes (1/2)ⁿ⁻¹. Isso se explica da forma que, depois de 2 balanços, conseguimos 24 vezes (1/2)². Mas se lembramos bem do enunciado, não queremos somente esta expressão, queremos saber também como calcular isso. E para responder, vamos usar a fórmula para séries geométricas finitas, que nos diz que a soma dos primeiros termos "n" é "a". Aqui é o nosso primeiro termo, menos "a" vezes a razão comum. A razão comum que neste caso é (1/2) elevado à potência "n/1" menos a nossa razão comum. E um jeito legal para pegar isso mais facilmente de cabeça é pensar que usamos o nosso primeiro termo menos o primeiro termo que não incluímos. E você já deve ter algo do tipo mas com outras formas, por exemplo, podemos fatorar "a", e veríamos a(1 - rⁿ) sobre (1 - r). Porém, de qualquer forma, a fórmula que responde a nossa pergunta no enunciado é 24 vezes 1 menos 1/2 elevado a "n" sobre 1 menos 1/2. E esta expressão por si só está correta, mas podemos simplificá-la um pouco. 1 menos 1/2 é igual a 1/2. 24 sobre 1/2 = 48. Podemos deixar por fim 48 vezes 1 menos 1/2 elevado a "n". E este foi o nosso primeiro exercício. Agora, para o segundo. Qual é a distância total que o macaquinho percorreu ao completar seu 25º balanço? Arredonde sua resposta para o metro mais próximo. Para esta questão, podemos usar a expressão que fizemos lá em cima, e substituímos o "n" por 25. E isso vai nos deixar com um número bem pequeno. Para nos ajudar aqui, vamos usar a calculadora. 0,5, que é o resultado de nossa fração, elevado à potência 25, e eis aqui o nosso número super pequeno. Agora, subtraímos ele de 1 e multiplicamos agora por 48. Se arredondamos para o metro mais próximo, voltamos para o 48. E é isso pessoal, eu espero que tenham aprendido e até a próxima!