Problemas de série geométrica: balanço

o Olá pessoal tudo bem temos alguns exercícios para resolver um macaquinho está se balançando em algumas árvores no primeiro balanço ele atravessa um arco de 24 metros em cada balanço ele atravessa um arco que tem um sobre dois de comprimento do Balanço anterior e para começar vamos fazer um desenho representativo dessa situação temos um Cipó e o nosso macaquinho está nele no primeiro balanço Ele atravessou o 24 metros e de acordo com as informações que temos nos balão seguintes Ele atravessou metade do anterior então no segundo o balanço seriam 12 metros depois vocês e assim vai e para quem já se balançou e árvores isso é bem consistente com nossas experiências e balanços de árvore Mas vamos lá para nossa primeira pergunta qual expressão nos dá o comprimento total dos balanços do macaquinho dos primeiros n balanças e Seria legal você pausar o vídeo para tentar resolver sozinho primeiro veja se você consegue expressar isso por duas formas diferentes um tiro como uma série geométrica depois como a soma da série geométrica caso se de fato ela fosse calculada e agora vamos juntas temos noção que no primeiro balanço o macaquinho vai 24 metros e no seguintes a metade do anterior e eu dei uma dica bem legal para você antes ao pedir que fizesse como uma série geométrica poderíamos colocar o 12 aqui embaixo Mas uma coisa interessante aqui é que para uma série geométrica a nossa razão comum sempre vai ser o 1 sobre 2 e isso vai para cada balança seguinte então ao invés de 12 Vamos colocar 24 x 1 sobre 2 e para o seguinte que seria a metade da metade seria 24 x 1 sobre 2 ao quadrado dessa forma temos agora nossos três primeiros balanços n Isso significa que vamos ser 24 vezes 1 sobre 2 elevado a n - 1 isso se explica da forma que depois de 2 balanças conseguimos 24 x 1 sobre 2 elevado a segunda potência mas se lembramos bem denunciado não queremos somente essa expressão queremos saber também como calcular Issa a responder vamos usar a fórmula para a série geométricas finitas e nos diz que a soma dos primeiros termos n é a aqui é o nosso primeiro termo menos a vezes a razão comum razão comum que nesse caso é um sobre 2 elevado à potência n sobre um menos a nossa razão comum e um jeito legal para pegar isso mais facilmente de cabeça é pensar que usamos o nosso primeiro termo menos o primeiro termo que não incluímos e você já deve ter algo do tipo mas com outras formas por exemplo podemos faturar a veríamos a vezes 1 - R elevado ao ele sobre ou menos R porém de qualquer forma a fórmula que responde a nossa pergunta no enunciado é 24 vezes um menos 1 sobre 2 elevado ao ele sobre ou menos Nossa razão comum e essa expressão por si só está correta mas podemos simplificar ela um pouco um menos 1 sobre 2 = 1 sobre 2 24 por 1 sobre 2 = 48 podemos deixar por fim há 8 meses um menos 1 sobre 2 elevado ao ele e esse foi o nosso primeiro exercício agora para o segundo qual é a distância total que o macaquinho percorreu ao completar seu 25º balança a redondo de sua resposta para o metro mais próximo para essa questão podemos usar a expressão que fizemos lá em cima e substituímos o n por 25 e isso vai nos deixaram com o número bem pequeno para nos ajudar aqui vamos usar a calculadora 0.5 que é o resultado de nossa fração elevada a potência 25 e isso aqui o nosso bolo super pequeno agora subtraímos ele de um e multiplicamos agora por 48 isso arredondamos para o metro mais próximo Voltamos para o 48 e é isso pessoal eu espero que tenha aprendido e até a próxima