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Matemática EM: Estatística

Curso: Matemática EM: Estatística > Unidade 5

Lição 1: Amplitude total, variância e desvio-padrão
Matemática
Matemática EM: Estatística
Medidas de dispersão
Amplitude total, variância e desvio-padrão
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Cálculo passo a passo do desvio-padrão

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Introdução

Neste artigo, vamos aprender a calcular o desvio-padrão "manualmente".
É interessante notar que no mundo real um estatístico nunca calcularia o desvio-padrão manualmente. Os cálculos envolvidos são um pouco complexos, e o risco de cometer um erro é grande. Além disso, calcular à mão é lento. Muito lento. É por isso que os estatísticos usam planilhas e programas de computador para fazer os cálculos.
Então, qual é o objetivo deste artigo? Por que estamos perdendo tempo aprendendo um processo que os estatísticos não usam de verdade? A resposta é que aprender a fazer os cálculos manualmente nos ajuda a compreender como o desvio-padrão realmente funciona. É importante entender isso. Em vez de ver o desvio-padrão como um número mágico que nossa planilha ou nosso programa de computador nos dá, poderemos explicar de onde esse número veio.

Visão geral do cálculo do desvio-padrão

A fórmula para o desvio-padrão (DP) é
start text, D, P, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root
em que sum significa "somatório", x é um valor do conjunto de dados, mu é a média do conjunto de dados e N é o número de dados na população.
A fórmula do desvio-padrão pode parecer confusa, mas ela vai fazer sentido depois de a desmembrarmos. Nas próximas seções, vamos apresentar passo a passo um exemplo interativo. Segue uma breve amostra dos passos que vamos seguir:
Etapa 1: calcular a média.
Etapa 2: calcular o quadrado da distância entre cada ponto e a média.
Etapa 3: somar os valores da Etapa 2.
Etapa 4: dividir pelo número de pontos.
Etapa 5: calcular a raiz quadrada.

Observação importante

A fórmula acima serve para calcular o desvio padrão de uma população. Se nós estivermos lidando com uma amostra, nós usaremos uma fórmula ligeiramente diferente (abaixo), que usa n, minus, 1 ao invés de N. Neste ponto do artigo, no entanto, você deve se familiarizar com o processo de cálculo do desvio padrão, que é basicamente o mesmo, não importando qual fórmula você irá usar.
start text, D, P, end text, start subscript, start text, a, m, o, s, t, r, a, end text, end subscript, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, x, with, \bar, on top, close vertical bar, squared, divided by, n, minus, 1, end fraction, end square root

Exemplo interativo passo a passo do cálculo do desvio-padrão

Primeiro, precisamos de um conjunto de dados com o qual trabalhar. Vamos escolher algo pequeno para que não sejamos sobrecarregados pelo número de pontos. Confira um bom:
6, comma, 2, comma, 3, comma, 1

Etapa 1: calcular start color #e07d10, mu, end color #e07d10 em square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, start color #e07d10, mu, end color #e07d10, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

Nessa etapa, calculamos a média do conjunto de dados, que é representada pela variável mu.
Preencha a lacuna.
mu, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Etapa 2: calcular start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 em square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root

Nessa etapa, calculamos a distância entre cada dado e a média (ou seja, os desvios), e o quadrado de cada uma dessas distâncias.
Por exemplo, o primeiro dado é 6, e a média é 3, então a distância entre eles é de 3. O quadrado dessa distância é 9.
Complete a tabela abaixo.
Dado xQuadrado da distância até a média open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared
69
2
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
3
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
1
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Etapa 3: calcular start color #e07d10, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 em square root of, start fraction, start color #e07d10, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root

O símbolo sum significa "somatório", então nessa etapa vamos somar os quatro valores que encontramos na Etapa 2.
Preencha a lacuna.
sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Etapa 4: calcular start color #e07d10, start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10 em square root of, start color #e07d10, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10, end square root

Nessa etapa, dividimos o resultado obtido na etapa 3 pela variável N, que é o número de dados.
Preencha a lacuna.
start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Etapa 5: calcular o desvio-padrão square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

Nós quase acabamos! Agora, é só calcular a raiz quadrada da resposta da Etapa 4 e terminamos.
Preencha a lacuna.
Arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.
start text, D, P, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root, approximately equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Isso! Conseguimos! Calculamos com sucesso o desvio-padrão de um conjunto pequeno de dados.

Resumo do que fizemos

Dividimos a fórmula em cinco etapas:
Etapa 1: calcule a média mu.
mu, equals, start fraction, 6, plus, 2, plus, 3, plus, 1, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, 12, divided by, 4, end fraction, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd
Etapa 2: calcule o quadrado da distância de cada dado até a média open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared.
xopen vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared
6open vertical bar, 6, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 3, squared, equals, 9
2open vertical bar, 2, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 1, squared, equals, 1
3open vertical bar, 3, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 0, squared, equals, 0
1open vertical bar, 1, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 2, squared, equals, 4
Steps 3, 4, and 5:
DP=∑∣x−μ∣2N=9+1+0+44=144        Somar os quadrados das distaˆncias (etapa 3).=3,5        Dividir pelo nuˊmero de dados (etapa 4).≈1,87        Calcular a raiz quadrada (etapa 5).\begin{aligned} \text{DP} &= \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x-\mu\rvert^2}}}{N}}\\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} \\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{{14}}{4}} ~~~~~~~~\small \text{Somar os quadrados das distâncias (etapa 3).} \\\\\\\\ &= \sqrt{{3{,}5}} ~~~~~~~~\small \text{Dividir pelo número de dados (etapa 4).} \\\\\\\\ &\approx 1{,}87 ~~~~~~~~\small \text{Calcular a raiz quadrada (etapa 5).} \end{aligned}

Tente você mesmo

Aqui está um lembrete da fórmula:
start text, D, P, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root
Aqui está um conjunto de dados:
1, comma, 4, comma, 7, comma, 2, comma, 6
Calcule o desvio-padrão do conjunto de dados.
Arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.
start text, D, P, end text, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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