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Casos de congruência triangular via transformações geométricas

O foco deste artigo é mostrar que os casos de congruência triangular LLL, ALA, LAL e LAAo podem ser obtidos através de transformações geométricas (neste caso específico utilizando-se isometrias). Para isto sugere-se que sejam mostrados pares de triângulos congruentes em diferentes posições e questiona-se os estudantes sobre que tipos de características que tais triângulos apresentam em comum (mesmo formato e mesmo tamanho) e como obter um deles a partir do outro.
Ao buscar no dicionário a palavra "congruência", um dos significados possíveis é "coincidência" e "correspondência", e essa é a definição que usamos na Matemática. A congruência, como um conceito geométrico, aparece quando 2 figuras são da mesma forma e do mesmo tamanho, isto é, se fosse possível sobrepor as imagens, diríamos que são congruentes se todos os seus elementos coincidirem.
A congruência nasce de transformações rígidas, as chamadas isometrias. Translações, rotações e reflexões são isometrias e podem ser aplicadas em figuras sem que elas sejam deformadas, ou seja, aplicar uma combinação de isometrias cria figuras congruentes entre si.
Neste artigo, vamos tratar especificamente das congruências triangulares. Uma maneira de identificar congruência de triângulos é medir os lados de cada um e verificar que são iguais. Porém, existem alguns critérios para identificar que pares de triângulos são congruentes, de maneira a encurtar essa análise.

Lado-Lado-Lado (LLL)

Quando os 2 triângulos apresentam os 3 lados congruentes.
Para identificar que os triângulos são congruentes pelo critério LLL, basta comparar os valores de seus respectivos lados. No exemplo acima, temos que a=d, b=e e c=f. Sendo assim, os triângulos ABC e DEF são congruentes.

Lado- Ângulo-Lado (LAL)

Quando 2 pares de lados correspondentes e o respectivo ângulo entre eles são congruentes.
Para identificar que os triângulos são congruentes pelo critério LAL, basta comparar os valores de 2 lados e o ângulo que é formado entre eles. No exemplo acima, temos que b=e, c=f e α=β. Sendo assim, os triângulos ABC e DEF são congruentes.

Ângulo-Lado-Ângulo (ALA)

Quando 2 pares de ângulos correspondentes e os respectivos lados entre eles são congruentes.
Para identificar que os triângulos são congruentes pelo critério ALA, basta comparar os valores de 2 ângulos e o lado que é formado entre eles. No exemplo acima, temos que α=γ, β=δ e c=f. Sendo assim, os triângulos ABC e DEF são congruentes.

Lado-Ângulo-Ângulo Oposto (LAAo)

Quando 2 pares de ângulos correspondentes e um par de lados correspondentes (que não esteja entre os ângulos) são congruentes.
Para identificar que os triângulos são congruentes pelo critério LAAo, basta comparar os valores de 2 ângulos e o lado correspondente que não é o formado entre eles. No exemplo acima, temos que α=γ, β=δ e b=e. Sendo assim, os triângulos ABC e DEF são congruentes.
Uma última observação é a de que podemos dividir qualquer polígono em triângulos. Então, mostrar que triângulos são congruentes é uma ferramenta poderosa para trabalhar com figuras mais complexas.

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