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Matemática EM: Geometria
Curso: Matemática EM: Geometria > Unidade 2
Lição 3: Alguns casos de congruência triangular- Partes correspondentes de triângulos congruentes são congruentes
- Demonstração do critério de congruência de triângulos LLL usando transformações
- Demonstração do critério de congruência de triângulos LAL usando transformações
- Demonstração dos critérios de congruência de triângulos ALA e AAL usando transformações
- Justifique a congruência de triângulos
- Casos de congruência triangular via transformações geométricas
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Demonstração dos critérios de congruência de triângulos ALA e AAL usando transformações
Podemos provar os critérios de congruência de triângulos ângulo-lado-ângulo (ALA) e ângulo-ângulo-lado (AAL) usando a definição de congruência de transformações rígidas. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
[RKA20C] E aí, pessoal?!
Tudo bem? Neste vídeo, vamos mostrar que,
se temos dois triângulos, e um lado tem o mesmo
comprimento do outro, neste caso, este lado azul tem o
mesmo comprimento deste aqui, e também possuem dois pares
de ângulos correspondentes com a mesma medida, ou seja,
este ângulo é igual a este, e este outro laranja, o ângulo ACB, tem a mesma medida que o ângulo DFE... Ou seja, se você tem dois ângulos e
um lado com o mesmo comprimento, podemos criar uma série de
transformações rígidas que vão colocar um triângulo
sobre o outro. Ou então, podemos dizer que eles são
congruentes entre si pela definição de transformação rígida. Isso é equivalente aos critérios de
congruência ângulo-lado-ângulo ou ângulo-ângulo-lado. Isso porque, se você tem dois ângulos, consegue descobrir
o terceiro ângulo, correto? Então, por exemplo,
neste caso específico, se soubermos que estes dois triângulos possuem dois pares de ângulos iguais
com a mesma medida, isso significa
que o terceiro par de ângulo tem necessariamente que ser igual. Então, estes dois ângulos são iguais e, pelo critério de congruência, se você tem um lado entre
esses dois ângulos, isso é equivalente a ter ângulo,
ângulo e lado iguais. Porque, se você conhecer dois ângulos, também vai conhecer o terceiro que, consequentemente,
é igual ao do outro triângulo. Então, vamos fazer uma série
de transformações rígidas para colocar o triângulo ABC
sobre o triângulo DFE. Como eu já disse, se você tem
dois comprimentos iguais, eles são congruentes. Com isso, você pode fazer uma série
de transformações rígidas para colocar um triângulo sobre o outro. Pensando nisso, o que quero fazer
é colocar o segmento AC sobre DF, e a maneira de fazer isso é transladar o ponto A para o ponto D. Vou chamar isto aqui de A'. Quando faço isso, o segmento AC
vai ficar nesta direção, e o resto do triângulo fica para cá. O lado AB vai ficar nesta direção. Mas, daqui, podemos fazer
outra transformação, que é girar o triângulo
sobre o ponto D ou A', de modo que C coincida com F. Então, até agora, fizemos duas
transformações rígidas que fizeram com que este lado AC ficasse sobre DF. Então, A vai ficar sobre D,
que podemos chamar de A', e C sobre F,
que podemos chamar de C'. Mas a minha pergunta é:
onde o ponto B fica? Bem, como temos uma
transformação rígida, as medidas dos ângulos
são preservadas, correto? Por causa disso,
vamos ter uma situação em que este ângulo aqui,
este ângulo CAB, vai ser preservado. Então C', A' e B' têm que ficar
em algum lugar deste segmento aqui. Ou melhor, se vamos preservar
a medida do ângulo CAB, B' vai ficar em algum lugar
deste segmento aqui. Isso porque um ângulo é formado
por dois segmentos que cruzam no vértice. Como este ângulo é preservado, este ângulo formado
por estes dois segmentos, o segmento CA e o segmento CB, sabemos que B' também deve ficar
em algum lugar aqui. Deixa eu prolongar este segmento. O que quero dizer é: como este ângulo
e este são preservados, B tem necessariamente
que coincidir com o ponto E, que eu posso chamar de B'. Este é um primeiro cenário
em que podemos fazer uma série de transformações rígidas para colocar este triângulo
sobre este. Mas tem uma outra. Existe uma circunstância em que
os ângulos são preservados, mas, em vez de estarem
deste lado do triângulo, eles podem estar deste lado aqui. Ambos os ângulos vão estar
deste lado do segmento azul e, com isso, a minha pergunta é:
nessa situação, onde B' vai estar? Deixa eu desenhar isso aqui
para ficar um pouco mais exato. Deixa eu replicar este ângulo
desenhando um ângulo aqui, mais ou menos assim, aí, eu pego essa medida, e já mostrei como transportar arco
em outros vídeos, mas coloco a ponta seca aqui, e estes ângulos vão estar
para cima do segmento, e B' tem necessariamente
que estar em algum lugar desse segmento que eu estou desenhando. Ao mesmo tempo,
ele tem que ficar em algum lugar que forme este ângulo aqui com F. Então, deixa eu transportar
este ângulo aqui fazendo este arco maior
e medindo ele aqui. Eu coloco a ponta seca nesta parte
e vou transportar meu ângulo para cá. Então, B' tem que ficar neste segmento. Ao mesmo tempo, o segmento B'F tem que formar este ângulo aqui. Se você prolongar aqui,
consegue ver que esses segmentos
se interceptam nesta parte. Portanto, a outra possibilidade de
os ângulos serem preservados de forma que o segmento azul de
um triângulo esteja sobre o outro é quando o B' está aqui. E, para que o triângulo da esquerda
fique sobre o triângulo da direita, precisamos fazer mais uma transformação, que é uma reflexão através do
segmento DF ou A'C'. E por que isso funcionaria? Simples: como a reflexão também
é uma transformação rígida, não altera o tamanho ou a forma,
os ângulos são preservados. Com isso, quando este ângulo é invertido, ele não vai mudar,
e este outro aqui também. Isso significa que este segmento
vai ficar sobre este aqui, e pronto! Conseguimos colocar
um triângulo sobre o outro. Então, se você tem dois ângulos, consegue descobrir o terceiro. Além disso, se você tem um lado
com o mesmo comprimento, então, os triângulos são congruentes. Espero que esta aula tenha lhe ajudado. Até a próxima, pessoal!