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Matemática EM: Geometria
Curso: Matemática EM: Geometria > Unidade 2
Lição 3: Alguns casos de congruência triangular- Partes correspondentes de triângulos congruentes são congruentes
- Demonstração do critério de congruência de triângulos LLL usando transformações
- Demonstração do critério de congruência de triângulos LAL usando transformações
- Demonstração dos critérios de congruência de triângulos ALA e AAL usando transformações
- Justifique a congruência de triângulos
- Casos de congruência triangular via transformações geométricas
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Demonstração do critério de congruência de triângulos LAL usando transformações
Podemos provar o critério de congruência de triângulos lado-ângulo-lado (LAL) usando a definição de congruência de transformações rígidas. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
[RKA20C] E aí, pessoal!?
Tudo bem? Neste vídeo, vamos provar
o critério de congruência lado-ângulo-lado utilizando transformações. Ou seja, vamos provar que,
se temos dois triângulos, em que dois lados correspondentes
são iguais, por exemplo, este lado azul
é igual a este aqui, e este segmento laranja é igual a este, e o ângulo que é formado
por estes dois lados é igual ao ângulo correspondente
deste outro triângulo, ou seja, os ângulos correspondentes
têm a mesma medida... Então, temos lado-ângulo-lado aqui e lado-ângulo-lado aqui também. Se isso acontece, podemos deduzir
que esses dois triângulos são congruentes pela definição de
transformação rígida de congruência. Ou seja, pelo critério lado-ângulo-lado, sendo que o ângulo deve estar
entre esses dois lados, os triângulos são congruentes entre si. Então, para fazer essa dedução, só precisamos dizer que sempre há
uma transformação rígida se tivermos um lado-ângulo-lado em comum que nos permita colocar
um triângulo sobre o outro. Porque, se há uma série de
transformações rígidas que nos permitem fazer isso,
pelo critério de semelhança, os dois triângulos
serão congruentes entre si. A primeira coisa que devemos fazer
é relembrar que, se temos dois segmentos
com o mesmo comprimento, como o segmento AB e o segmento DE, então, necessariamente,
eles são congruentes. Isso significa que você sempre pode
colocar um segmento sobre o outro utilizando uma série
de transformações. Para começar, vamos colocar
o ponto B sobre o ponto E e vamos chamar este novo ponto de B'. Se fizermos apenas
uma translação para isso, o lado BA vai ficar aqui,
o lado laranja. Mas podemos fazer outra transformação, que seria girar o triângulo
em torno do ponto E ou B', ou seja, girar um lado, e isso faria todo triângulo girar para DE. Nesse caso, assim que fizermos
a segunda transformação, o ponto A vai coincidir com o D,
o que podemos chamar de A'. D é igual a A'. Mas a questão é: onde está C? Bem, podemos utilizar
este comprimento aqui. Utilizando o compasso,
a distância entre A e C... Como todas as transformações
preservam as distâncias, sabemos que C',
o ponto que queremos saber depois das transformações, vai estar em algum lugar desse arco,
já que a distância dele até A' vai ser a mesma
da distância de C até A. Também sabemos que
as transformações rígidas preservam as medidas dos ângulos. À medida que colocamos
um triângulo sobre o outro, o ângulo também vai ser preservado. Portanto, o lado AC vai ser
transformado neste lado aqui. Com isso, F vai ser igual a C'. Pronto, encontramos a nossa transformação
com base nesse critério, indicando que os triângulos
são congruentes entre si. Mas calma aí! Existe outra possibilidade
de que este ângulo seja preservado, com o lado AC aqui
devido às transformações, ou após as transformações. Vai ser algo mais ou menos assim. Nesse caso, o novo C,
melhor dizendo, C' vai estar aqui. Se isso acontece, precisamos fazer
apenas mais uma transformação. Podemos fazer uma reflexão
sobre DE ou sobre A'C' para refletir o ponto C' de modo que ele fique sobre F. E como sabemos que C'
ficará exatamente sobre F? Bem, este ângulo vai ser preservado devido às transformações
serem rígidas, ou seja, uma transformação que não
altera o tamanho ou a forma da figura. Então, quando refletirmos isso sobre DE, o ângulo vai ser mantido. Com isso, A'C' vai ficar sobre DF. Pronto, conseguimos mostrar, utilizando uma série de transformações, que, pelo critério LAL,
um triângulo é congruente ao outro. Espero que esta aula tenha lhe ajudado. Até a próxima, pessoal!