Problemas com triângulos isósceles e equiláteros

RKA - Vamos fazer alguns exemplos de problemas usando os conhecimentos recém adquiridos sobre triângulo isósceles e equiláteros. Aqui, eu tenho um triângulo dentro de outro triângulo e precisamos descobrir quanto vale este ângulo em laranja e este ângulo em azul. E sabemos que o lado AB é igual a, ou o segmento AB, é igual ao segmento BC que é igual ao segmento CD. Ou poderíamos também chamar aquilo de DC. Antes de mais nada, vamos olhar aquele triângulo. Triângulo ABC, é isósceles. E, por ser isósceles, os dois ângulos na base tem que ser congruente. Esse é um lado, esse é outro lado bem ali. Os dois ângulos da base tem que ser congruente. Daí concluímos que esse ângulo aqui também mede 31 graus. Bom, sabemos 2 dos ângulos de um triângulo, sempre podemos calcular o terceiro ângulo. A soma deles tem que ser 180. Então, se chamarmos, poderemos dizer 31 graus mais 31 graus, mais a medida do ângulo ABC. ABC é igual a 180 graus. Você subtrai 62 de, isso aqui é 62 graus, você subtrai 62 dos dois lados e conclui que a medida do ângulo ABC é igual a, deixe-me ver, 180 menos 60 seria 120, quando subtrai mais 2, você chega a 118 graus. Esse ângulo aqui, à direita, é igual a 118 graus. Vou escrever assim, isto é 118 graus. Então, esse ângulo aqui, esse ângulo aqui é o suplementar àquele ali de 118 graus. Aquele ângulo mais 118 será igual a 180. Já sabemos que isso dá 62 graus. 62 mais 118, então, isso aqui dá 60, isso aqui dá 62. Agora esse ângulo aqui, é um dos ângulos da base do triângulo BCD. Eu não desenhei dessa forma, mas esse lado e esse lado são congruentes. DC têm o mesmo comprimento que CD. Estes são os dois lados de um triângulo isósceles. Você poderia imaginar virado de cabeça para baixo, isso é o vértice e isso é um dos ângulos da base, esse é o outro ângulo da base, os ângulos na base serão congruentes. Isso também será igual a 62 graus. E, finalmente, se quer calcular o valor do ângulo em azul, a soma do ângulo azul e esses dois ângulos de 62 graus vai ser igual a 180 graus. Então, você tem 62 mais 62, mais o ângulo azul que é a medida do ângulo BCD, medida do ângulo BCD, que terá que ser igual a 180 graus. Esses dois elementos, vamos ver, 62 mais 62 é igual a 124, subtrai 124 dos dois lados e chega na medida do ângulo BCD que é igual a, se você subtrai 120 sobra 60. E você tem que subtrair mais 4 e fica 56 graus. Então, isso é igual a 56 graus. Beleza. Agora, vamos. A gente poderia fazer qualquer um desses. Vamos fazer esse aqui. Então qual é a medida do ângulo ABE? Eles nem desenharam o segmento de reta BE aqui, eu vou desenhar para nós. Temos que calcular o valor do ângulo ABE. Temos um monte de segmentos congruentes aqui e, em particular, vemos que no triângulo ABD todos os lados são iguais. Então, esse é um triângulo equilátero que significa que todos os ângulos são iguais. E, se todos os ângulos são iguais em um triângulo, todos têm que ter 60 graus. Todos eles têm 60 graus. Então, temos que todas essas figuras têm 60 graus. Isso é uma parte do ângulo ABE, porém temos que calcular essa outra parte. E, para fazer isso, a gente pode ver que estamos trabalhando com um triângulo isósceles, como se se estivesse meio que caído para esquerda. Esse é o vértice do ângulo principal, este é um ângulo da base, esse é outro ângulo da base, o vértice principal daqui tem 90 graus. E, de novo, sabemos que ele é isósceles porque, nesse lado, o segmento BD é igual ao segmento DE. E, de novo, a soma desses dois ângulos, mais esse ângulo bem aqui tem que ser igual a 180 graus. Podemos chamar aquilo de "x", podemos chamar de "x" e temos que "x" mais "x" é igual a 180 graus, Então, fica "2x" mais, vou escrever isso, eu não quero pular passo nenhum aqui, temos que "x" mais "x", mais 90 será igual a 180 graus. "x" mais "x" é a mesma coisa que "2x", mais 90 é igual a 180. Então, podemos subtrair 90 de ambos os lados e fica "2x" é igual a 90. Ou, dividindo os dois lados por "x" chega-se a "x" é igual a 45. E, então, terminamos porque o ângulo ABE será igual a 60 graus mais os 45 graus. Então, será esse ângulo inteiro, que é o que nos interessa, o ângulo ABE será 60 mais 45 que resulta em 105 graus. E, agora, temos esse último problema aqui parece ser um pouco mais simples. Tem um triângulo isósceles em que esse lado é igual àquele lado. Esse é o vértice e temos que calcular B. E o truque aqui, como calcula um lado do triângulo se só sei de outro lado? Eu precisaria conhecer os outros dois lados. Vamos fazer do mesmo jeito como acabamos de fazer na segunda parte daquele problema. Se isso é um triângulo isósceles, sabemos que é, então esse ângulo terá que ser igual àquele ângulo. E se a gente chamar isso de "x", então, isso também será "x". Teremos "x" mais "x", mais 36 graus, mais 36 é igual a 180. Os "2x", quando você soma, fica "2x". Então, eu vou, não, não vou pular nenhum passo. "2x" mais 36 é igual a 180, subtraindo 36 dos dois lados chegamos a "2x". "2x", aquele 2 parece meio esquisito, e temos "2x" é igual a 180, menos 30 que é 150. E quer subtrair 6 de 50, o que resulta em 144. Será que fiz certo? 180 menos 30 dá 150. Certo, 144. Divida os dois lados por 2, fica com "x" é igual a 72 graus. Então, isso é igual a 72 graus e acabou.