Quadriláteros são polígonos compostos de $4$‍ lados. Neste artigo, trataremos especificamente dos quadriláteros notáveis e de suas propriedades. São eles os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os quadrados. Primeiramente, vamos às suas caracterizações.

Trapézios são quadriláteros que possuem $2$‍ lados paralelos. Os paralelogramos são mais do que trapézios: eles possuem os lados opostos paralelos. Já os retângulos, além dos pares de lados paralelos, possuem os $4$‍ ângulos congruentes – diferentemente dos losangos, que possuem $4$‍ lados congruentes. Por fim, os quadrados têm os $4$‍ ângulos e os $4$‍ lados congruentes.

Uma maneira sucinta de representar esses conceitos está na imagem a seguir. Ao olhar do mais específico para o mais geral, ela evidencia como um quadrado também é um retângulo, isto é, ele tem os $4$‍ ângulos e lados congruentes. E também é um paralelogramo, pois tem os lados opostos paralelos e, em particular, tem um par de lados paralelos, assim como o trapézio.

Essas ideias auxiliam o entendimento das propriedades de cada figura, pois aquelas que valem para quadriláteros mais gerais – por exemplo, o trapézio – vão valer também para os mais específicos – como os paralelogramos, losangos, retângulos e quadrados.

Tome o $\text{ABCD}$‍:

Uma primeira propriedade a ser observada é sua construção: seus lados $\text{AD}$‍ e $\text{CD}$‍ – os opostos não paralelos – são , assim como seus ângulos da base. Outra propriedade é que suas diagonais também têm o mesmo tamanho. Para se convencer disso, trace suas diagonais, obtendo os segmentos $\text{BD}$‍ e $\text{AC}$‍.

Temos agora os triângulos $\text{ABD}$‍ e $\text{ABC}$‍. Como o trapézio é isósceles, os ângulos da base são congruentes, assim como os lados $\text{AD}$‍ e $\text{BC}$‍. Como o lado $\text{AB}$‍ é comum a ambos os triângulos, temos, pelo caso de congruência $\text{LAL}$‍, a existência de uma isometria que leva o triângulo $\text{ABD}$‍ ao triângulo $\text{ABC}$‍. De fato, ao traçar a mediatriz $\text{r}$‍ ao lado $\text{AB}$‍, vemos que a distância de $\text{A}$‍ até $\text{r}$‍ é a mesma que de $\text{B}$‍ até $\text{r}$‍, e a distância de $\text{D}$‍ até $\text{r}$‍ é igual à distância de $\text{C}$‍ até $\text{r}$‍. Logo, por reflexão, os triângulos $\text{ABD}$‍ e $\text{ABC}$‍ são congruentes, e os lados $\text{BE}$‍ e $\text{AC}$‍ também são congruentes.

Como os paralelogramos são um caso particular dos trapézios isósceles, pois eles são trapézios isósceles com os dois pares de lados opostos paralelos, temos que os paralelogramos possuem todas as propriedades dos trapézios isósceles.

Para além disso, as diagonais dos paralelogramos se interceptam em seus respectivos pontos médios.

Isso se deve ao fato de os triângulos $\text{AEB}$‍ e $\text{CED}$‍ serem congruentes entre si pelo caso ALA, pois os pares de ângulos $\text{BAE}$‍ e $\text{DCE}$‍ e $\text{EBA}$‍ e $\text{EDC}$‍ são alternos internos. Consequentemente, seus pares de lados $\text{AE}$‍ e $\text{CE}$‍ e $\text{EB}$‍ e $\text{DE}$‍ são congruentes. Assim, concluímos que as diagonais do paralelogramo são interceptadas em seus pontos médios.

Observe que os losangos são casos particulares dos paralelogramos, pois os losangos são paralelogramos com todos os lados de mesmo tamanho. Assim, temos que os losangos possuem todas as propriedades dos paralelogramos.

Pelos quatro lados do losango serem iguais, ele também tem a propriedade adicional de as suas diagonais serem perpendiculares entre si.

Isso se deve ao fato de os triângulos $\text{CED}$‍ e $\text{CEB}$‍ serem congruentes entre si pelo caso $\text{LLL}$‍; consequentemente, seus ângulos $\text{CED}$‍ e $\text{CEB}$‍ são congruentes. Observe, ainda, que os mesmos ângulos somados dão $180º$‍, pois formam uma reta. Sendo assim, cada um desses ângulos é, na verdade, de $90º$‍. Podemos repetir o argumento para os triângulos $\text{AED}$‍ e $\text{AEB}$‍. Assim, concluímos que as diagonais do losango são perpendiculares entre si.

Note que o retângulo é um caso particular dos paralelogramos, pois retângulos são paralelogramos com os $4$‍ ângulos de $90º$‍. Sendo assim, eles possuem todas as propriedades dos paralelogramos.

Para além disso, as diagonais do retângulo são congruentes.

Isso se deve ao fato de os triângulos $\text{ABD}$‍ e $\text{BAC}$‍ serem congruentes entre si pelo caso $\text{LAL}$‍; consequentemente, seus lados $\text{AC}$‍ e $\text{BD}$‍ são congruentes. Assim, concluímos que as diagonais do retângulo são congruentes.

Como o quadrado é um caso particular de retângulo, pois quadrados são retângulos com os $4$‍ lados iguais, temos que eles herdam todas as propriedades dos retângulos.

Esses resultados não são as únicas propriedades possíveis de serem observadas, mas são as mais importantes para utilização na resolução de problemas. Um ótimo exercício é pensar na existência de outras propriedades em cada um desses polígonos.