Prova: área do losango

RKA13MB - O exercício nos diz que o quadrilátero ABCD é um losango. Provar que a área desse losango é igual a 1/2 vezes AC vezes BD, na verdade, também prova que a área de um losango é 1/2 vezes o produto dos comprimentos das suas diagonais. Vamos ver o que podemos fazer aqui. Há um monte de coisas que sabemos sobre losangos, como o fato de que todos os losangos são paralelogramos; e há um monte de coisas que a gente sabe sobre paralelogramos. Em primeiro lugar, se a figura for um losango, sabemos que todos os seus lados são congruentes: o comprimento desse lado é igual ao comprimento desse lado, que é igual ao comprimento desse lado, que é igual ao comprimento desse lado. Porque ele é um paralelogramo, sabemos que as diagonais são mediatrizes uma da outra. Vamos chamar esse ponto aqui de E. A gente sabe que BE é igual a ED, e a gente sabe que AE igual a EC. Como a figura é um losango, sabemos também, como provamos no último vídeo, que as diagonais não apenas são mediatrizes uma da outra, mas elas também são perpendiculares. Sabemos que este é um ângulo reto. Este é um ângulo reto. Esse é um ângulo reto, e esse também é um ângulo reto. A maneira mais fácil de visualizar isso é se a gente puder mostrar que esse triângulo ADC é congruente ao triângulo ABC. E, se a gente descobrir a área de um deles, podemos apenas dobrar essa área. A primeira parte é bastante simples. Sabemos que o triângulo ADC é congruente ao triângulo ABC. E sabemos isso porque temos o critério de congruência lado-lado-lado: esse lado é congruente a esse outro lado, esse lado é congruente a esse outro lado, e os dois compartilham o AC aqui. Isso ocorre pela congruência lado-lado-lado. Por isso sabemos que a área de ABCD é igual a duas vezes a área de... podemos escolher qualquer um desses... ABC. Vamos escrever dessa forma: a área de ABCD é igual à área de ADC mais a área de ABC. E, como eles são congruentes, esses dois lados são iguais, e por isso teremos 2 vezes a área de ABC. Qual é a área de ABC? A área de um triângulo é metade da base vezes a altura. A área do ABC é igual a 1/2 vezes a base desse triângulo vezes sua altura. Qual é o comprimento da base? O comprimento da base é AC (vou criar um código de cores). A base é AC, e qual é a altura aqui? Bom, sabemos que esta reta diagonal é uma mediatriz, portanto a altura é a distância de BE. Então, temos AC vezes BE, que é a altura. BE é a altura. Esta é a altura. Ela intersecta essa base em um ângulo de 90 graus. Ou podemos dizer que BE é a mesma coisa que 1/2 vezes BD. Isso é igual a 1/2 vezes AC, que é a nossa base... nossa altura é BE, que é igual a 1/2 vezes BD. Essa é a área apenas de ABC, do triângulo maior aqui em cima, que é metade do losango. Acabamos de dizer que a área disso tudo é duas vezes maior do que isso. Se voltarmos um pouco, se usarmos essa informação e essa informação aqui, teremos a área de ABCD como igual a 2 vezes a área de ABC. Essa parte aqui é 2 vezes a área de ABC, que está aqui. Então, 1/2 vezes 1/2 é igual a 1/4, vezes AC vezes BD. Então, podemos ver onde isso vai dar. 2 vezes 1/4 é 1/2, vezes AC vezes BD. Bastante simples. Temos o resultado bem direto. Na verdade, eu não fiz isso neste vídeo; eu vou fazer isso no próximo vídeo. Há outras maneiras de encontrar a área de um paralelogramo. Geralmente, é apenas base vezes altura. Mas, para losangos, podemos fazer isso, porque eles são paralelogramos, mas também temos esse outro resultado bem direto que demonstramos neste vídeo se soubermos que os comprimentos das diagonais... a área do losango é igual à metade do produto dos comprimentos das diagonais, que é um resultado bem direto.