Demonstração: as diagonais de uma pipa são perpendiculares

RKA - Nesse vídeo, eu quero provar que o segmento “AC”. Segmento “AC” é perpendicular ao segmento “DB”, baseado nas informações que tem neste diagrama. Que este lado tem o mesmo comprimento que esse lado. Esse lado tem o mesmo comprimento que esse lado. E eu vou dar uma dica. Vamos usar um ou mais de um dos nossos postulados de congruência. Vou continuar chamando de postulados daqui para frente. Então os que já conhecemos, faço uma linha aqui, é nossa caixa de ferramentas. Temos esse postulado lado, lado, lado. Se os três lados são congruentes, então os dois triângulos são congruentes. Tem lado, ângulo, lado. Os dois lados e o ângulo no meio são congruentes. Os dois triângulos são congruentes. Tem ‘ALA’, dois ângulos com um lado no meio, e ‘AAL’, dois ângulos e um lado. Qualquer uma dessas coisas que determinamos, esses são os nossos postulados, e vamos considerar que significam congruência. Vou fazer como uma prova matemática de colunas. E não precisa fazer como uma prova matemática de coluna, mas é o que normalmente se vê em uma aula de introdução à geometria. Eu pensei em demonstrar. É uma ideia básica onde você faz uma declaração e precisa dar os motivos para a sua declaração que é o que estamos fazendo com qualquer prova, mas nunca fizemos de forma muito estruturada. Então vou fazer assim, duas colunas assim e uma declaração. Vou dar o motivo da declaração. E a estratégia que eu vou tentar usar, parece que eu posso de cara provar que o triângulo ‘CDA’ é congruente com o triângulo ‘CBA’, com base no ‘LLL’. E esse é um bom começo porque uma vez que consigo basear a congruência, eu posso ter ângulos iguais. E o motivo disso é que este lado é igual a este lado, este lado é o mesmo que esse lado e os dois compartilham àquele lado. Mas dessa vez não quero fazer verbalmente, eu quero escrever corretamente desde o começo nesta prova de duas colunas. Então tem “CD”, tem o comprimento do segmento “CD”, que é igual ao comprimento de “CB”. CD = CB, isso é fato dado. Então esses dois têm o mesmo comprimento. Também sabemos que “DA”. O comprimento do segmento “DA” é igual ao comprimento do segmento “BA”. DA = BA e também aparece no diagrama. Além deste, sabemos que “CA = CA”. “CA” é igual a si mesmo. Logicamente, que está nos dois triângulos. Então isso é fato ou está claro no diagrama. É meio óbvio, os dois triângulos compartilham aquele lado. A gente tem dois triângulos, seus lados correspondentes têm o mesmo comprimento. Sabemos que são congruentes e que o triângulo ‘CDA’. Triângulo ‘CDA’ é congruente com o triângulo ‘CBA’. E ainda pelo postulado ‘LLL’ e pelas declarações que temos, na verdade, eu vou enumerar as declarações para poder usar como referência. 1, 2, 3 e 4. O postulado ‘LLL’ e 1, 2 e 3 declarações. 1, 2 e 3 As declarações 1, 2 e 3 e o postulado ‘LLL’ dizem que esses dois triângulos são congruentes. E se são congruentes sabemos, por exemplo, que todos os seus ângulos correspondentes são equivalentes. Por exemplo, este ângulo será igual àquele ângulo. Daí vamos montar essa declaração. O ângulo ‘DCE’, esta será a declaração 5. O ângulo ‘DCE’ terá a mesma medida e dá para falar que são congruentes. Vou dizer que a medida do ângulo ‘DCE’ será igual à medida do ângulo ‘BCE’. E isto vem diretamente da declaração 4. Congruência. Eu posso colocar entre parênteses. Congruência desses triângulos. Isso implica diretamente porque os dois são parte desse triângulo maior que são os ângulos correspondentes e terão exatamente a mesma medida. Parece que podemos fazer algo bem interessante com esses dois triângulos menores em cima do lado esquerdo e em cima do lado direito, que parece uma pipa. Como tem um lado, dois lados correspondentes são congruentes e dois ângulos correspondentes são congruentes. E tem um lado em comum, eles têm este lado em comum. Primeiro vamos determinar que eles têm esse lado em comum, então eu vou escrever a declaração 6. Tem ‘CE’ a medida ou comprimento dessa reta é igual a si mesma. Mais uma vez é óbvio, é igual. Pelo diagrama, é óbvio que é a mesma reta. É óbvio pelo diagrama, mas agora dá para usar essa informação. A gente não tem três lados, não provamos ainda que este lado é igual a este lado, que ‘DE’ tem o mesmo comprimento que ‘EB’. Mas um lado, um ângulo entre os lados e mais um lado. Me parece bem interessante para nosso postulado lado, ângulo, lado. Então podemos dizer pelo postulado lado, ângulo, lado que o triângulo ‘DCE’ é congruente. ‘DCE’ é congruente com o triângulo ‘BCE’. Triângulo ‘BCE’. E quando escrevo as legendas dos triângulos, eu estou me segurando de estar colocando o ponto correspondente. Eu comecei em “D”, fui para “C” e depois para “E’. Então acho que o ângulo correspondente ou poderia chamar de ponto correspondente ao vértice para esse triângulo é “B”. Se eu começar com “D”, começo com “B”. “C” no meio é o vértice correspondente para qualquer um desses triângulos, então vou colocar no meio e os dois vão para “E”. E isso é só para ter certeza de que estamos especificando o quê corresponde com o quê. E sabemos que é verdadeiro pelo lado, ângulo, lado. A informação que recebemos a partir da declaração 1, a gente sabe que esses dois lados são congruentes e que são congruentes porque vem da declaração 5. E a declaração 6 nos deu o outro lado. Declaração 6. Se sabemos que esses triângulo são congruentes, isso quer dizer, que todos os ângulos correspondentes são congruentes. Por exemplo, este ângulo será congruente com aquele ângulo ali. Vamos escrever declaração número 8. A medida do ângulo, a gente chama de ‘DEC', é igual à medida do ângulo ‘BEC’. E isso vem da declaração 7, mais uma vez são congruentes. Congruência. E também sabemos que vamos montar a declaração 9. Também sabemos que a medida do ângulo ‘DEC’, ou talvez, deveria escrever o ângulo ‘DEC’ e o ângulo ‘BEC’ são suplementares. Isso é meio... Pode ver na inspeção, mas vou escrever direito. São suplementares, significa que se somam às medidas somam 180 graus. A gente sabe disso porque são adjacentes e os lados exteriores formam um ângulo reto. Agora o próximo passo. Se sabemos que esses dois ângulos são iguais entre si e que são complementares, nosso próximo passo significa que poderia deduzir que devem ter 90 graus. 10, a medida do ângulo ‘DEC’ é igual à medida do ângulo ‘BEC’, que é igual a 90 graus. E a razão pela qual ele poderia estar mais envolvido, podemos juntar essas duas declarações, seriam as declarações 8 e 9. E as declarações 8 e 9 significam que a medida do ângulo ‘DEC’ mais a medida do ângulo... na verdade, como eu não quero dar muitos passos de uma só vez eu faço aos poucos. Então eu vou fazer assim, digo que o ângulo ‘DEC’. Ângulo ‘DEC’ mais a medida do ângulo ‘BEC’ é igual a 180. E isto vem da declaração 9 que são suplementares. Daria para falar que a declaração 11. Poderia dizer que a medida do ângulo ‘DEC’ mais a medida do ângulo ‘BEC’ é igual a 180 graus. E sabemos disso pela declaração 9. Pela declaração 9 e pela declaração 8. Basicamente pegamos a declaração 9 e substituímos ‘BEC’. A medida de ‘BEC’ é igual a medida ‘DEC’. Se a gente quer a declaração 12, daí falamos que a medida do ângulo ‘DEC’ é igual à 90, que é igual à medida do ângulo ‘BEC’. Isso provém diretamente das declarações número 11 e 8 e o que pode ver... estou demorando um pouco mais passando pelos passos um por um. Em algumas das outras provas eu teria dito simplesmente "ah, obviamente implica nisso ou naquilo". E pronto, porque se isso tem 90 graus. Eu vou escrever essa última declaração, a declaração 13. Que é o que eu queria provar, queria provar que ‘AC’ é perpendicular à ‘DB’. ‘AC’ é perpendicular ao que mesmo? ‘AC’ é perpendicular ao segmento ‘DB’ e provém diretamente da declaração 12. E pronto, fizemos uma prova matemática de coluna e provamos que este segmento de reta é perpendicular a esse segmento de reta. Fizemos com ‘LLL’, com o postulado ‘LLL’, e o postulado lado, ângulo, lado.