Este artigo vai explorar o que ocorre com a área e o perímetro de polígonos regulares, retângulos e triângulos ao variar seus lados. Vamos analisar caso a caso.

Ao variar a medida do lado de um polígono regular, seu perímetro varia na mesma proporção.

Observe a figura. Note que o pentágono $\text{ABCDE}$‍ tem lado $2$‍ e, portanto, seu perímetro é $10$‍. Por outro lado, o pentágono $\text{FGHIJ}$‍ tem lado $4$‍ e seu perímetro é $20$‍. Aqui, a medida que o lado dobrou de tamanho, pôde-se perceber que o perímetro aumentou com a mesma proporção.

Ao alterar uma das dimensões de um retângulo, sua área varia na mesma proporção.

Observe a figura. Note que o retângulo $\text{KLMN}$‍ tem lados $1$‍ e $2$‍ e, portanto, sua área é $2$‍. Agora, note que os lados horizontais desse retângulo foram dobrados, gerando o retângulo $\text{OPQR}$‍, assim como sua área, que passou a ser $4$‍, o dobro do valor original. Já o retângulo $\text{STUV}$‍ teve seus lados verticais triplicados em relação ao retângulo $\text{KLMN}$‍ e, consequentemente, sua área também, passando a valer $6$‍.

Ao variar simultaneamente e na mesma proporção a medida da base e da altura relativa de um triângulo, a área varia ao quadrado da variação ocorrida nas dimensões.

Na figura, note que o triângulo $\text{ABC}$‍ tem base $3$‍ e altura $4$‍ relativa a essa base. Agora, note que a base e a altura desse triângulo tiveram seu tamanho dobrado, gerando o triângulo $\text{DEF}$‍. A razão que essa variação aconteceu foi $2$‍; sendo assim, é esperado que a área varie o quadrado desse valor, isto é, varie em $4$‍ vezes – o que de fato ocorre, pois a área do triângulo $\text{ABC}$‍ é $6$‍, ao passo que a do triângulo $\text{DEF}$‍ é $24$‍.

Esses resultados não são os únicos padrões possíveis de serem observados, mas são os mais importantes na utilização de resolução de problemas. Um ótimo exercício é pensar na existência de outros padrões de variações em polígonos.