Variação do perímetro de um polígono regular

RKA2JV - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos estudar a variação do perímetro de um polígono regular de acordo com seus lados. E, se você não sabe, um polígono é uma figura plana e fechada formada por segmentos de retas que chamamos de "lados". Eu não vou entrar em muitos detalhes nesta aula, mas existem alguns tipos de polígonos, e um deles é o polígono regular, onde todos os seus lados e ângulos internos são iguais, como é o caso deste aqui, onde os cinco lados são iguais e os ângulos internos também, e chamamos de pentágono. Cada lado deste polígono regular mede 1 metro. E, se quisermos calcular o perímetro, que é a soma de todos os lados, pegamos 1 metro, mais 1 metro, mais 1 metro, mais 1 metro, mais 1 metro, ou seja, 5 lados vezes 1 metro, que é igual a 5 metros. Agora, se eu dobrar a medida de cada um destes lados do polígono regular, o que acontece com o perímetro? Ou seja, cada lado vai passar a valer 2 metros, e com isso vamos ter um perímetro igual a 2 metros, mais 2 metros, mais 2 metros, mais 2 metros, mais 2 metros, que é igual a 5 lados vezes 2 metros, que é igual a 10 metros. Ou seja, o perímetro agora é o dobro do primeiro. E se, ao invés de dobrarmos, triplicarmos cada lado do polígono regular? Será que o perímetro vai ser triplicado? Neste caso, o nosso polígono regular vai ter 3 metros em cada lado. Deixe-me chamar aqui o primeiro perímetro de P₁, este aqui de P₂, e o nosso novo perímetro de P₃. Com isso, o P₃ vai ser igual a 3 metros, mais 3 metros, mais 3 metros, mais 3 metros, mais 3 metros, que é a mesma coisa que 5 vezes 3 metros, que é igual a 15 metros. Ou seja, 3 vezes o perímetro do primeiro polígono. Deixe-me colocar aqui o P₁, que é o primeiro perímetro, que é igual a 5 metros, e o P₂, que é o segundo perímetro, que é igual a 10 metros. Então, podemos dizer que o perímetro do segundo polígono é igual a 2 vezes o perímetro do primeiro polígono, e o perímetro 3 é igual a 3 vezes o perímetro do primeiro polígono regular. Em cada caso, pegamos o número de lados, que neste caso é 5, e multiplicamos pelo comprimento de cada lado. Neste caso aqui, pegamos o 5, que é o número de lados, e multiplicamos pelo comprimento de cada lado. Ou seja, em um pentágono, o perímetro sempre vai ser 5, que é o número de lados, vezes o comprimento do lado. E, como não conhecemos esse comprimento, podemos chamar de "x". Então, isto aqui é igual a 5 vezes "x". E se dobrarmos o lado, qual vai ser o novo perímetro? Vamos pegar o 5 e multiplicar pelo dobro do comprimento do lado. Neste caso aqui, o comprimento é "x". Então, vamos ficar com 5 vezes 2x, que é a mesma coisa que 2 vezes 5x, correto? Já que a ordem dos fatores não altera o resultado. E se, por exemplo, eu chamar este aqui de P₁ e este outro perímetro de P₂, note que 5x é o valor do primeiro perímetro, correto? Então, no lugar do 5x, eu posso colocar P₁, correto? Com isso, vamos ter que P₂ é igual a 2 vezes P₁. Ou seja, quando dobramos o comprimento de cada lado, também dobramos o perímetro. Isto aqui, de fato, é verdade. E para esta segunda igualdade, eu deixo como exercício: tente provar que, toda vez que triplicamos o lado de um polígono regular, seu perímetro também vai ser triplicado. Por fim, como eu já disse, P = 5x, correto? Onde este perímetro depende apenas do comprimento do polígono regular. A única coisa que pode mudar o perímetro é o comprimento do lado. Ou seja, se esse comprimento varia, então, o perímetro vai variar. A variação do perímetro de um polígono regular depende exclusivamente do comprimento do lado do polígono regular. Então, podemos reescrever isto aqui como uma função de "x". Ou seja, f(x) = 5x, onde "x" é o comprimento de cada lado do polígono regular. Esta é uma função que relaciona o perímetro desse polígono regular e o lado dele. E você pode utilizar alguns valores nessa função para descobrir as variações desse perímetro. Por exemplo, quando "x" vale 1, nós vamos ter f(1), que é 5 vezes 1, que é igual a 5 metros, correto? Este é aquele nosso perímetro inicial. Agora, se alterarmos o "x" para 1,5, vamos ter que f(1,5) vai ser 5 vezes 1,5, que é igual a 7,5 metros. O f(2), por exemplo, vai ser igual a 5 vezes 2, que é igual a 10 metros. Por fim, o f(2,5) vai ser 5 vezes 2,5, que é igual a 12,5 metros. Esse é um jeito mais fácil de achar as variações do perímetro de acordo com a variação do lado. Se você perceber, aqui temos duas grandezas: o perímetro e o lado do polígono regular. Essas grandezas têm uma relação de proporcionalidade entre si. E, conhecendo alguns valores que já vimos aqui, podemos representar essa relação, essa função, graficamente. Para isso, eu desenhei um plano cartesiano aqui, onde o eixo X varia de 1 até 13, que é o eixo dos lados do polígono regular, e no Y nós temos a variação do perímetro, que eu coloquei de 1 até 16. Se marcarmos os pontos que achamos, quando "x" vale 1, o perímetro vai valer 5, correto? Este é o nosso perímetro inicial. Quando "x" vale 1,5, o perímetro vai valer 7,5. Quando "x" valer 2, vamos ter um perímetro igual a 10 metros. E, por fim, quando "x" valer 2,5, o perímetro vai ser igual a 12,5. E aí eu posso traçar uma reta por estes pontos, mais ou menos assim. E pronto, representamos graficamente a nossa função f(x) = 5x. Enfim, entender essa relação entre o lado do polígono regular e o perímetro do mesmo pode te ajudar a calcular mais rápido o perímetro de um polígono regular. Muitas vezes, nem precisamos calcular. Podemos apenas analisar o comprimento do lado. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!