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Variação da área de um retângulo (1)

O foco desse vídeo é mostrar como a área de um retângulo se modifica ao alterar a medida de uma de suas dimensões. Versão original criada por Khan Academy.

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Transcrição de vídeo

RKA2JV - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos estudar um assunto muito interessante relacionado a retângulos. Ou seja, vamos ver a variação da área de um retângulo. Para isso, vamos pensar em um problema aqui. Gabriel é um rapaz bastante estudioso, e desenhou um retângulo com as dimensões do terreno de sua casa. Ou seja, 12 metros por 30 metros. E, se você não lembra, este lado aqui é o comprimento do retângulo (ou o que chamamos de base), e este outro, a largura (ou altura). E a área de um retângulo é a medida do comprimento, multiplicada pela medida da largura. Então, se quisermos calcular esta área aqui, vamos pegar o 12 metros, que é o comprimento, e multiplicar por 30, que é a largura. Ou seja, 12 metros vezes 30 metros. Isto vai ser igual a 360 metros quadrados. E o que acontece com a área deste retângulo se duplicarmos suas dimensões? Temos três possibilidades: ou duplicamos apenas o comprimento, ou duplicamos a largura, ou então duplicamos ambos. Mas, nesta aula, vamos pensar apenas nas duas primeiras possibilidades. Então, se tivermos um retângulo aqui com o comprimento sendo o dobro, ou seja, se era 12 metros, passou a ser 24 metros, e a largura se manteve a mesma. Neste caso, a área vai ser 24 m vezes 30 m, que é igual a 720 m². Ou seja, a área deste retângulo é o dobro da área deste aqui, que é 360 m². Posso até chamar esta área aqui de A₁ e esta de A₂. Então, A₂ vai ser igual a 2 vezes A₁. Agora, e se, ao invés de duplicarmos o comprimento, resolvermos duplicar a largura, o que acontece com a área do retângulo? Bem, eu vou ter um novo retângulo aqui, onde a largura é o dobro da do retângulo original, então, 60 metros. Sabendo disso, qual é a nova área que eu posso chamar de A₃? A₃ vai ser igual a: 12 m (que é o comprimento) vezes 60 (que é a largura), e que é igual a 720 m². Ou seja, esta área é o dobro da primeira. Com isso, podemos dizer que A₃ é igual a 2 vezes A₁. Parece que, quando duplicamos o comprimento, a área do retângulo original também vai ser duplicada. E, quando duplicamos a largura, a nossa nova área vai ser o dobro da original. Mas será que isso é sempre verdade? Ou seja, toda vez que dobramos ou o comprimento, ou a largura de um retângulo, a sua área vai ser duplicada? Vamos provar isso somente para o comprimento. Vamos dizer que, inicialmente, nós temos um retângulo qualquer, onde o seu comprimento é igual a "x" e a sua largura é igual a "y". A área dele vai ser igual a o quê? "x vezes y", correto? E o que acontece se duplicarmos esse comprimento? Para isso, temos um novo retângulo, onde a medida do comprimento (ou da base) é igual ao dobro da primeira (portanto, 2x) e a medida da largura se mantém constante (ainda "y"). Qual vai ser a nova área, que podemos chamar de A₂? A₂ vai ser igual a 2x, que é o comprimento, vezes "y", que é a largura. E eu posso reescrever isso como: A₂ = 2(xy). E por que eu escrevi assim? Simples. Se você perceber, "x vezes y" é a área inicial, ou seja, isto aqui. Com isso, vamos ter que A₂ é igual a 2 vezes A. De fato, para todo "x" maior do que zero, toda vez que duplicarmos o comprimento de um retângulo, a sua área vai ser dobrada. Mas será que o mesmo acontece com a largura? Ou seja, será que duplicar a largura, de fato, duplica a área? Neste caso, vamos ter um novo retângulo, onde a medida do comprimento vai ser constante (igual a "x") e a medida da largura vai ser o dobro da primeira (vai ser 2y). E o que eu quero saber é: será que essa mudança, essa variação na largura do retângulo, de fato vai dobrar a sua área? Eu posso chamar esta área de A₃, e ela vai ser igual à medida da base, ou seja, do comprimento, que é "x", vezes a medida da largura, que é 2y. E eu posso reescrever este A₃ como 2(xy). Ou seja, eu só mudei a forma de multiplicar, já que a ordem dos fatores não altera o resultado. Note que "x vezes y" é o A, que é a área inicial. Então, onde tem "x vezes y", podemos substituir por A. Ou seja, A₃ é igual a 2 vezes A. De fato, para todo "y" maior do que zero, toda vez que duplicarmos a largura, a área desse retângulo vai ser duplicada. Então, recapitulando: quando duplicamos o comprimento do retângulo, duplicamos sua área. E, quando duplicamos a largura, também duplicamos a sua área. Se você parar para analisar, nesta primeira situação aqui, onde duplicamos o comprimento, a largura vai ser constante. E claro, podemos ir duplicando, triplicando, fazendo o que bem entendermos, que a área vai ser duplicada, triplicada, e assim por diante. No caso onde mudamos apenas o comprimento, a largura é constante. Ou seja, quando calculamos a nossa área, que é igual a "x vezes y", este "y" não faz diferença na variação da área. Isso porque ele é sempre constante. Ou seja, essa variação de área depende apenas do "x". Por causa disso, podemos reescrever esta área como uma função que depende do "x", e que é igual a "k" vezes "x", já que o "y" é tratado como constante. Isso nos ajuda a representar as variações da área de um retângulo graficamente. Por exemplo: se eu tiver um retângulo aqui com o comprimento igual a 1 metro e a largura igual a 3 metros, a sua área vai ser igual a 3 vezes 1, que é 3 m², correto? Neste caso, o 3 é o "k", é a nossa constante. Então, podemos dizer que a função que representa a variação da área em função da variação do comprimento é igual a 3x. E podemos representar isso através de um gráfico, já que, neste caso, a área depende exclusivamente da variação no "x". Ou seja, o comprimento e a área do retângulo são proporcionais. À medida que variamos o seu comprimento, variamos a sua área. Para representar isso com um gráfico, eu fiz um plano cartesiano aqui. Quando o comprimento é igual a 1 m, a área desse retângulo vai ser igual a 3 m², correto? Agora, quando duplicamos o comprimento, o que acontece com a área? Vai duplicar também. Ou seja, se era 3 m², vai passar a ser 6 m². E colocamos isso aqui no gráfico. E, se duplicarmos de novo o nosso comprimento, indo de 2 m para 4 m, o que acontece com a área do retângulo? De novo, vai duplicar. Ou seja, se era 6 m², vai passar a ser 12 m², correto? Então, se o comprimento é igual a 4 m, a nossa nova área vai ser igual a 12 m². Se você perceber, nós conseguimos traçar uma reta passando por todos estes pontos. Ou seja, de fato, a relação entre o comprimento do retângulo e sua área é uma função, o que indica que ambas as grandezas são proporcionais. E o mesmo acontece com a largura. Ou seja, ao modificar uma das dimensões do retângulo, a área do mesmo vai variar na mesma proporção. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!