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Matemática EM: Geometria
Curso: Matemática EM: Geometria > Unidade 5
Lição 5: Variação da área e perímetro de polígonos regulares- Variação do perímetro de um polígono regular
- Variação do perímetro de um polígono regular
- Variação da área de um retângulo (1)
- Variação da área de um retângulo (1)
- Variação da área de um retângulo (2)
- Variação da área de um retângulo (2)
- Variação da área de polígonos
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Variação da área de um retângulo (2)
O foco desse vídeo é mostrar como a área de um retângulo se modifica ao alterar a medida de ambas dimensões.
Versão original criada por Khan Academy.
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- Seria interessante se adicionassem um gráfico da função quadrática da área de acordo com semelhança dos lados no vídeo, já que fizeram equações lineares e suas representações gráficas nos outros dois vídeos, eu acho(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA2JV - E aí, pessoal,
tudo bem? Nesta aula vamos aprender a respeito
da variação da área de um retângulo. Para isso, vamos analisar
este retângulo, onde este aqui é o comprimento,
que é igual a 2 metros, e aqui é a largura, ou altura,
que mede 1 metro. E, se você não sabe,
a área de um retângulo é a multiplicação do comprimento
(que chamamos também de base) pela largura (que também
chamamos de altura). Isso é igual a 2 m
vezes 1 m, que é a largura, e 2 vezes 1
é igual a 2 m². Uma pergunta que
eu quero te fazer é: se eu variar as dimensões
deste retângulo, a área também
vai ser alterada? Bem, vou chamar esta primeira área aqui
de A₁ e vamos fazer alguns testes. O primeiro é:
dobrar as dimensões. Ou seja, dobrar tanto o comprimento
quanto a largura. O novo retângulo vai ter um comprimento
igual a 4 m e uma altura igual a 2 m. Com isso, a nossa nova área,
que eu vou chamar de A₂, vai ser igual a 4 m
vezes 2 m. E 4 vezes 2 = 8.
Então, 8 m². Parece que a área foi
quadruplicada, não é? Eu sugiro que você
vá fazendo mais testes e veja se isso
sempre acontece. Mas, antes de provar essa situação,
vamos analisar outra. Agora, vamos duplicar
o comprimento (ou seja, a base) e triplicar
a largura (a altura). Com isso, o nosso novo retângulo vai ter
o comprimento (uma base) igual a 4 m e uma nova
largura de 3 m. E eu posso chamar
esta área de A₃. Multiplicando as dimensões,
vamos ter que A₃ é igual a 4 m vezes 3 m,
que é igual a 12 m². Neste caso, a área foi
aumentada em seis vezes. De novo: faça outros testes
e veja se isso sempre acontece. Por fim, vamos para a última situação,
onde vamos dobrar o comprimento e dividir
a largura por 2. O nosso novo retângulo
vai ter um comprimento igual a 4 m,
já que foi dobrado, e a largura vai ser
a metade de 1, que é 1/2. Com isso, esta área
vai ser igual a A₄, que vai ser a mesma coisa
que 4 m vezes 1/2 m. E, se você não lembra
como multiplicar uma fração, nós multiplicamos os numeradores
e os denominadores. Com isso, vamos ter
4 vezes 1, que é 4, dividido por
2 vezes 1, que é 2. Ou seja, 4 dividido por 2,
que é igual a 2. Então, 2 m². Se você perceber,
a área não foi alterada. Se manteve a mesma
da área inicial. E sim, todos estes casos
são sempre verdade, mas eu vou provar algebricamente
somente este primeiro aqui. Daqui em diante, você pega o modelo
e tenta provar as outras duas situações. Mas agora, vamos nos concentrar
na prova desta aqui. Digamos que você tenha um retângulo
aqui com dimensões genéricas, onde você tem um comprimento igual a "x"
e uma largura igual a "y". A área dele vai ser a multiplicação
dessas dimensões, ou seja,
"x vezes y". Agora, na primeira situação, nós multiplicamos tanto o comprimento
quanto a largura por 2, correto? Com isso, vamos ter um novo
retângulo, mais ou menos assim, onde o comprimento vai ser igual a
2x e a largura, igual a 2y. E aí vamos ter uma área nova,
e ela vai ser igual a o quê? 2x vezes 2y. E o interessante é que podemos
reescrever isto como (2 vezes 2) que multiplica
(x vezes y), correto? Isso porque a ordem dos fatores
não altera o resultado. 2 vezes 2
é igual a 4. E note que "x vezes y"
é a mesma coisa que a área inicial. Ou seja, onde tem "x vezes y",
nós podemos substituir pela área inicial. Com isso, a nova área
vai ser igual a 4 vezes A. Ou seja, para qualquer "x"
maior do que zero, esta afirmação
é verdadeira. Logo, toda vez que dobrarmos
as duas dimensões, a área deste retângulo
será quadruplicada. Neste caso, a área nova
é quatro vezes a área inicial. Você pode utilizar quase
que a mesma ideia para provar as outras
duas situações. Isso acontece
com um retângulo. Mas será que acontece
também com um triângulo? Vamos ver. Eu coloquei
um triângulo aqui, onde esta aqui é a base,
que neste caso é 2 m, e esta medida aqui é a altura,
que também é 2 m. E, se você não lembra,
a área de um triângulo é: a medida da base multiplicada
pela altura, dividido por 2. Isso vai ser
igual a 2 metros, digamos que a unidade
de medida aqui seja 2 metros, e aqui também, 2 metros. Então, 2 m vezes 2 m,
dividido por 2. 2 m vezes 2 m
é igual a 4 m², e dividimos isso por 2,
ficando com 2 m². Agora, se dobrarmos a base
e a altura deste triângulo, qual vai ser
a nova área? Pela lógica que vimos
com o retângulo, se dobramos
ambas as dimensões, então, a área vai ter que ser
multiplicada por 4, correto? O mesmo
acontece aqui. Mas, para você ter certeza,
vamos fazer as contas aqui. Vou chamar esta
nova área de A₂. Então, A₂ vai ser igual
à base, que é 4 m, vezes a altura,
que também é 4 m, e dividimos
isso por 2. 4 metros vezes 4 metros,
e dividimos isso por 2, que é igual a 4 metros
vezes 4 metros, que é 16 m². E, dividindo isso por 2,
vamos ficar com 8 m². Ou seja, isto aqui
é 4 vezes 2. Portanto, a área 2 é igual a
4 vezes a área 1 (A₂ = 4 A₁). Ou seja, se dobrarmos
as dimensões de um triângulo, a sua área vai ser
multiplicada por 4. Enfim, eu espero que esta
aula tenha lhes ajudado, e até a próxima,
pessoal!