Variação da área de um retângulo (2)

RKA2JV - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula vamos aprender a respeito da variação da área de um retângulo. Para isso, vamos analisar este retângulo, onde este aqui é o comprimento, que é igual a 2 metros, e aqui é a largura, ou altura, que mede 1 metro. E, se você não sabe, a área de um retângulo é a multiplicação do comprimento (que chamamos também de base) pela largura (que também chamamos de altura). Isso é igual a 2 m vezes 1 m, que é a largura, e 2 vezes 1 é igual a 2 m². Uma pergunta que eu quero te fazer é: se eu variar as dimensões deste retângulo, a área também vai ser alterada? Bem, vou chamar esta primeira área aqui de A₁ e vamos fazer alguns testes. O primeiro é: dobrar as dimensões. Ou seja, dobrar tanto o comprimento quanto a largura. O novo retângulo vai ter um comprimento igual a 4 m e uma altura igual a 2 m. Com isso, a nossa nova área, que eu vou chamar de A₂, vai ser igual a 4 m vezes 2 m. E 4 vezes 2 = 8. Então, 8 m². Parece que a área foi quadruplicada, não é? Eu sugiro que você vá fazendo mais testes e veja se isso sempre acontece. Mas, antes de provar essa situação, vamos analisar outra. Agora, vamos duplicar o comprimento (ou seja, a base) e triplicar a largura (a altura). Com isso, o nosso novo retângulo vai ter o comprimento (uma base) igual a 4 m e uma nova largura de 3 m. E eu posso chamar esta área de A₃. Multiplicando as dimensões, vamos ter que A₃ é igual a 4 m vezes 3 m, que é igual a 12 m². Neste caso, a área foi aumentada em seis vezes. De novo: faça outros testes e veja se isso sempre acontece. Por fim, vamos para a última situação, onde vamos dobrar o comprimento e dividir a largura por 2. O nosso novo retângulo vai ter um comprimento igual a 4 m, já que foi dobrado, e a largura vai ser a metade de 1, que é 1/2. Com isso, esta área vai ser igual a A₄, que vai ser a mesma coisa que 4 m vezes 1/2 m. E, se você não lembra como multiplicar uma fração, nós multiplicamos os numeradores e os denominadores. Com isso, vamos ter 4 vezes 1, que é 4, dividido por 2 vezes 1, que é 2. Ou seja, 4 dividido por 2, que é igual a 2. Então, 2 m². Se você perceber, a área não foi alterada. Se manteve a mesma da área inicial. E sim, todos estes casos são sempre verdade, mas eu vou provar algebricamente somente este primeiro aqui. Daqui em diante, você pega o modelo e tenta provar as outras duas situações. Mas agora, vamos nos concentrar na prova desta aqui. Digamos que você tenha um retângulo aqui com dimensões genéricas, onde você tem um comprimento igual a "x" e uma largura igual a "y". A área dele vai ser a multiplicação dessas dimensões, ou seja, "x vezes y". Agora, na primeira situação, nós multiplicamos tanto o comprimento quanto a largura por 2, correto? Com isso, vamos ter um novo retângulo, mais ou menos assim, onde o comprimento vai ser igual a 2x e a largura, igual a 2y. E aí vamos ter uma área nova, e ela vai ser igual a o quê? 2x vezes 2y. E o interessante é que podemos reescrever isto como (2 vezes 2) que multiplica (x vezes y), correto? Isso porque a ordem dos fatores não altera o resultado. 2 vezes 2 é igual a 4. E note que "x vezes y" é a mesma coisa que a área inicial. Ou seja, onde tem "x vezes y", nós podemos substituir pela área inicial. Com isso, a nova área vai ser igual a 4 vezes A. Ou seja, para qualquer "x" maior do que zero, esta afirmação é verdadeira. Logo, toda vez que dobrarmos as duas dimensões, a área deste retângulo será quadruplicada. Neste caso, a área nova é quatro vezes a área inicial. Você pode utilizar quase que a mesma ideia para provar as outras duas situações. Isso acontece com um retângulo. Mas será que acontece também com um triângulo? Vamos ver. Eu coloquei um triângulo aqui, onde esta aqui é a base, que neste caso é 2 m, e esta medida aqui é a altura, que também é 2 m. E, se você não lembra, a área de um triângulo é: a medida da base multiplicada pela altura, dividido por 2. Isso vai ser igual a 2 metros, digamos que a unidade de medida aqui seja 2 metros, e aqui também, 2 metros. Então, 2 m vezes 2 m, dividido por 2. 2 m vezes 2 m é igual a 4 m², e dividimos isso por 2, ficando com 2 m². Agora, se dobrarmos a base e a altura deste triângulo, qual vai ser a nova área? Pela lógica que vimos com o retângulo, se dobramos ambas as dimensões, então, a área vai ter que ser multiplicada por 4, correto? O mesmo acontece aqui. Mas, para você ter certeza, vamos fazer as contas aqui. Vou chamar esta nova área de A₂. Então, A₂ vai ser igual à base, que é 4 m, vezes a altura, que também é 4 m, e dividimos isso por 2. 4 metros vezes 4 metros, e dividimos isso por 2, que é igual a 4 metros vezes 4 metros, que é 16 m². E, dividindo isso por 2, vamos ficar com 8 m². Ou seja, isto aqui é 4 vezes 2. Portanto, a área 2 é igual a 4 vezes a área 1 (A₂ = 4 A₁). Ou seja, se dobrarmos as dimensões de um triângulo, a sua área vai ser multiplicada por 4. Enfim, eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!