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Homotetias

O foco deste artigo é sistematizar o conceito de homotetia como sendo a transformação geométrica que preserva o formato das figuras geométricas envolvidas.
O matemático francês Michel Chasles é considerado um dos maiores geômetras de todos os tempos por conta de suas fundamentais contribuições à Matemática. Ele cunhou o termo "homotetia" – que deriva da composição grega homo (similar) e tetia (posição) –, uma ação geométrica responsável por ampliar ou reduzir proporcionalmente distâncias, preservando os ângulos entre elas e seus paralelismos. Isso significa que as figuras geradas desse tipo de transformação apresentam o mesmo formato por conta das propriedades citadas.
Denominamos start text, k, end text a razão de proporcionalidade entre as transformações, a qual pode ser obtida pela divisão de dois lados das figuras. No exemplo abaixo, o triângulo start text, A, B, C, end text é o original e o triângulo start text, A, apostrophe, B, apostrophe, C, apostrophe, end text é sua homotetia. Sendo assim, a razão de proporcionalidade entre eles é dada por:
start text, k, end text, equals, start fraction, a, divided by, a, prime, end fraction, equals, start fraction, b, divided by, b, prime, end fraction, equals, start fraction, c, divided by, c, prime, end fraction
Vamos discutir os possíveis casos para os valores de start text, k, end text.

Quando start text, k, end text, equals, 1

Nesse caso, a homotetia é considerada uma .

Quando start text, k, end text, is greater than, 1

Nesse caso, a homotetia é considerada uma ampliação.
Note que o triângulo start text, A, apostrophe, B, apostrophe, C, apostrophe, end text é uma homotetia do triângulo start text, A, B, C, end text com razão que, em particular, start text, k, end text, is greater than, 1.

Quando 0, is less than, start text, k, end text, is less than, 1

Quando isso ocorre, a homotetia é considerada uma redução.
Note que o triângulo start text, A, apostrophe, B, apostrophe, C, apostrophe, end text é uma homotetia do triângulo start text, A, B, C, end text com razão que, em particular, start text, k, end text, is greater than, 0 e start text, k, end text, is less than, 1.
Os exemplos dentro de cada um dos casos de start text, k, end text foram com triângulos. Observe que nenhum deles ficou deformado ao ser transformado com a homotetia. Isso ocorre porque a homotetia, além de aumentar ou diminuir os tamanhos dos lados com a mesma proporção, preserva os valores dos ângulos e seus paralelismos.