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Matemática EM: Geometria
Curso: Matemática EM: Geometria > Unidade 1
Lição 5: Isometrias- Como calcular medidas usando as transformações rígidas
- Calcule medidas usando transformações rígidas
- Transformações rígidas: propriedades preservadas
- Transformações rígidas: propriedades preservadas
- Transformações de figuras
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- Isometrias
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Transformações de figuras
Encontre sequências de transformações rígidas que transformam uma figura na outra.
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Transcrição de vídeo
RKA13JL - E aí,
pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos fazer
um exercício que diz: "Os triângulos abaixo
são congruentes. O lado de cada quadradinho
da malha representa 1 unidade. Qual das seguintes sequências de transformações
sobrepõe o triângulo PQR sobre o outro triângulo?" Ou seja, queremos colocar este triângulo aqui
sobre esse com algumas transformações. E quais dessas
sequências fazem isso? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente
responder isso sozinho. Vamos lá, então. Vamos começar com essa primeira
sequência aqui, a sequência A, que diz que vamos fazer uma rotação
de 90 graus sobre o ponto R, ou seja, este ponto aqui, e podemos fazer isso
primeiro e depois ir para a outra parte da sequência. E para fazer
essa rotação, digamos que aqui nós temos
o eixo "x" e aqui o eixo "y" e vamos rotacionar o triângulo em 90 graus. Claro, o ponto
R vai permanecer o mesmo, e o ponto P vai parar aqui. Uma maneira de pensar nisso
é que, para ir de R para P, você tem que descer 1 unidade
e depois ir 3 para a direita, e quando você faz a rotação, você ainda tem que
caminhar 1 unidade para a direita e depois 3 para cima. Isso porque o triângulo vai fazer
uma rotação de 90 graus em torno de R. O novo segmento RP vai ser esse aqui.
E o ponto Q agora vai estar aqui. De novo, isso é por causa
da rotação de 90 graus. O segmento QP vai ser este aqui
e o segmento QR, este aqui. E a segunda parte
da sequência é: "Em seguida, uma translação de 6 unidades
para a esquerda e depois 7 para cima." Então, o ponto P está aqui e vai
transladar 7 unidades para a esquerda, 1, 2, 3, 4, 5 e 6,
7 unidades para cima, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7,
ficando exatamente sobre o ponto C. O mesmo ocorre
com o ponto R, que vai transladar 6 unidades para a esquerda
e 7 para cima, ficando sobre o ponto B, e o que translada 6 unidades para a esquerda
e 7 para cima, ficando sobre o ponto A. Então, de fato, a sequência A fez com que
o triângulo PQR sobreponha o triângulo ABC. E vamos analisar
agora a sequência B, que é uma translação de 8 unidades para
a esquerda, seguida de 3 unidades para cima. Deixa eu fazer
essa parte primeiro. Então, indo aqui no ponto Q,
vamos movê-lo para a esquerda, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 unidades, e depois 1, 2 e 3
para cima, ficando exatamente sobre o ponto A. E este vai
ser o quê? Da sequência B: transladando os
outros pontos, o ponto R está aqui e vai andar 8 unidades para a esquerda
e 3 para cima, ficando aqui. O ponto P está aqui e vai transladar 8 unidades
para a esquerda e 3 para cima, ficando aqui. E ligando os pontos,
nós vamos ter este triângulo aqui. E a segunda parte da sequência
diz para fazermos uma reflexão sobre a linha horizontal
que passa pelo ponto A, ou seja, o ponto A está aqui e a linha
horizontal que passa por ele é esta aqui. Se você notar, o ponto R está a 3 unidades
desta reta horizontal, desta linha horizontal, então quando refletimos o triângulo
o ponto R vem parar aqui, ficando ainda a 3 unidades
da linha horizontal. Com isso, já sabemos
que essa sequência aqui não vai colocar o triângulo PQR
sobre o triângulo ABC. E para a sequência C e D, eu vou colocar uma
nova malha aqui para não ficar tão embolado. A sequência C diz que uma reflexão sobre a linha
vertical que passa pelo ponto Q, essa é a primeira parte. Isso significa que temos uma reta vertical
aqui que passa pelo ponto Q, e quando fazemos a reflexão deste triângulo sobre
esta reta, o ponto Q permanece o mesmo. O ponto R está a 1 unidade desta reta
vertical e tem que continuar assim, só que do outro lado,
ou seja, bem aqui, O ponto P está a 1, 2, 3 e 4 unidades da reta vertical
e temos que fazer o mesmo do outro lado, ou seja, 1, 2, 3 e 4
unidades, parando aqui. Este é o ponto P, e, com isso,
o nosso triângulo vai ser este aqui. A segunda parte
da sequência C é: depois, vamos fazer uma translação de 4 unidades
para a esquerda seguida de 7 unidades para cima. Ou seja, pegamos todos os pontos deste
triângulo e vamos fazer essa translação. No ponto Q, vamos andar
4 unidades para a esquerda e depois 7 unidades para cima,
ficando sobre o ponto C. E o ponto R também translada
4 unidades para a esquerda e depois 7 para cima,
ficando sobre o ponto B. Por fim, o ponto B translada
4 unidades para a esquerda e 7 para cima,
ficando sobre o ponto A. Ou seja, com essa sequência, o triângulo
PQR ficou sobre o triângulo ABC. E a sequência D é uma translação de 8 unidades
para a esquerda seguida de 3 unidades para cima. Deixe eu fazer
essa primeira parte. Então, todos os pontos do
triângulo PQR vão transladar, sendo que o ponto P vai transladar 8 unidades
para a esquerda e 3 para cima, ficando aqui. O ponto R também vai 8 unidades para
a esquerda e 3 para cima, ficando aqui. O mesmo acontece
com o ponto Q, ele vai transladar 8 unidades para a esquerda
e 3 para cima, ficando aqui sobre o ponto A. E ligando estes pontos,
nós temos este triângulo aqui. A segunda parte da sequência diz que vamos
ter uma rotação de -270 graus em relação ao ponto A. Isso significa que vamos rotacionar este
triângulo em 270 graus no sentido horário. E para isso, podemos fazer
uma rotação de 180 graus primeiro, com um lado
ficando aqui, e depois uma outra rotação de 90 graus,
fazendo com que o lado PQ fique aqui. Isso significa que o ponto R também foi
rotacionado em -270 graus, parando aqui. Ou seja, de fato, esta sequência D faz com que
o triângulo PQR sobreponha o triângulo ABC. Então, essas diferentes sequências de
transformações funcionaram, apenas a B que não. Eu espero que esta aula tenha ajudado
vocês, e até a próxima, pessoal!