Sequências de transformações geométricas

Isometrias são transformações rígidas que aplicadas em figuras geométricas que resultam em outras sem nenhuma alteração de tamanho de distâncias. Estas são transformações que produzem figuras com o mesmo formato e tamanho que as originais. É por esse motivo que é necessário sempre verificar as medidas dos lados e dos ângulos respectivos da figura original e de seu produto após sofrer a transformação. Translações, rotações e reflexões são isometrias.

Note que diferentes tipos de transformações geométricas podem ser aplicadas numa figura geométrica (translações, rotações e reflexões) para se obter outra com determinadas características.

Exploremos um exemplo. Observe a imagem abaixo qual seria uma sequência de transformações que possibilitaria a criação do triângulo laranja $\text{A'''B'''C'''}$start text, A, '', apostrophe, B, '', apostrophe, C, '', apostrophe, end text a partir do triângulo vermelho $\text{ABC}$start text, A, B, C, end text.

Uma sequência possível seria a apresentada a baixo: $(1)$left parenthesis, 1, right parenthesis Criar o triângulo azul a partir da reflexão do triângulo vermelho em relação a um eixo vertical; $(2)$left parenthesis, 2, right parenthesis Obter o triângulo verde a partir da translação do triângulo azul na direção vertical, no sentido de baixo para cima $6$6 unidades; $(3)$left parenthesis, 3, right parenthesis Chegar no triângulo laranja a partir da rotação do triângulo verde, em relação a origem do sistema cartesiano, $90º$90, º no sentido anti-horário.

Note que fazer as transformações em outra ordem também funciona, primeiro transladar, depois refletir e ainda rotacionar. Se você pensou em alguma outra, está tudo bem, pois é possível fazer de diferentes maneiras essa sequência de transformação. Talvez em caminhos menos eficientes, mas poderia ir rotacionando aos pouquinhos ou ainda poderia transladar 10 unidades e depois voltar. Mas há infinitas maneiras de sair do triângulo vermelho e chegar no triângulo laranja.

E por fim, note que depois de todos esses passos os tamanhos de segmente de lado foram mantidos, tal qual o valor dos ângulos também. Essa observação conclui a ideia que Geometria das Transformações preserva congruência.