Definição de transformações

RKA4JL - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula nós vamos aprender a identificar transformações. Para isso, nós temos o seguinte. Uma determinada transformação no plano xy tem as duas propriedades a seguir: Cada ponto da reta (y = 3x - 2) transforma-se em si mesmo. A outra propriedade diz o seguinte: Qualquer ponto P que não esteja na reta se transforma em um novo ponto P' (P linha), de tal forma que a mediatriz PP' é a reta (3x - 2). Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Vamos tentar visualizar isso. Primeiro eu vou começar desenhando um plano cartesiano com o meu eixo x e meu eixo y O que a primeira propriedade diz é que qualquer ponto da reta (y = 3x - 2), após a transformação, vai se transformar em si mesmo, ou seja, vai continuar sobre a mesma reta. ou seja, qualquer ponto que não está na reta... Vamos dizer que eu coloque o ponto P aqui. Ela transforma o P em um novo ponto P', de forma que a mediatriz de PP' é a reta (y = 3x - 2). Isso quer dizer que essa reta (3x menos 2) é mediatriz perpendicular à reta que vai ligar esse ponto P aqui a um outro ponto, que vamos chamar de P’, ou seja, essa reta divide esse segmento em duas partes iguais. Vamos ver mais um exemplo? Temos o seguinte: Uma determinada transformação no plano tem as duas propriedades a seguir: O ponto "O" transforma-se em si mesmo, e a segunda diz que cada ponto V em uma circunferência C com centro em "O" transforma-se em um novo ponto W da circunferência C, de forma que o ângulo anti-horário de OV a OW mede 137 graus. Essas propriedades descrevem uma reflexão, uma rotação ou uma translação? Observe que estamos falando de uma circunferência com centro em "O". Então aqui está o centro "O" e, claro, esse ponto transforma-se em si mesmo. Observe que cada ponto em uma circunferência C com centro em "O", transforma-se em um novo ponto W. Com isso eu posso desenhar a minha circunferência aqui com o centro em "O" (posso até consertar esse centro aqui, colocá-lo mais no centro), e eu posso escolher um ponto V sobre essa circunferência, (posso colocar esse ponto V aqui), e o que vamos fazer aqui é pegar cada ponto V dessa circunferência e transformar em um novo ponto W, de forma que o ângulo anti-horário OV e OW mede 137°. Então nós temos o nosso raio OV aqui e essa transformação vai mover 137° no sentido anti-horário, desse jeito, e esse aqui vai ser o nosso segmento OW. O que se parece isso aqui? Parece que nós estamos girando o nosso ângulo, não é? Ou seja, esse ponto se transformou nesse aqui, o ponto foi rotacionado em 137° em torno do ponto "O". Claro, você olha para tudo isso aqui e parece que é outro idioma, parece uma coisa de outro mundo. Mas nesse momento você tem que dar uma respirada, dar uma acalmada e tente fazer um desenho que você vai conseguir visualizar isso melhor. Por fim, vamos ver um último exemplo? Temos o seguinte: uma determinada transformação no plano xy tem a seguinte propriedade: Cada circunferência O com raio r e centro em (x,y) se transforma em uma circunferência O' com raio r e centro em (x mais 11, y menos 7). O que isso é: uma reflexão, uma rotação ou uma translação? Pause o vídeo e tente resolver. "Nós já vimos circunferências no exercício anterior, então provavelmente nós temos uma rotação". Mas o que temos aqui é o seguinte. Nós temos a nossa circunferência com centro (x,y) e raio r e essa circunferência se transforma em uma outra circunferência com o mesmo raio, só que com centro em (x mais 11, y menos 7) e que tem o mesmo raio da circunferência anterior, ou seja, mais ou menos assim a gente tem a nossa nova circunferência, e o que aconteceu aqui? Nós mantivemos o mesmo raio, apenas mudamos o centro em 11 unidades para a direita e reduzimos 7 unidades para baixo. Isso claramente é uma translação. Então eu posso mover aqui e marcar uma translação. Eu espero que essa aula tenha lhes ajudado. Até a próxima, pessoal!